Tal og algebra

Man kan afgrænse tal i intervaller. Et interval er en mængde af tal mellem to værdier. Parenteser i intervaller Man bruger som regel kantede parenteser, når man skal skrive et interval, f.eks. [-2:2]. Her er -2 og 2 intervallets to endepunkter. Det har betydning hvilken vej parentesen vender, da dette afgør, om endepunktet er en del af intervallet. Når parentesen vender ”mod” endepunktet, så er endepunktet med i intervallet, og når parentesen vender væk fra endepunktet, så er endepunktet ikke med i intervallet. - [-2:2] er alle tal fra og med -2 til og med 2. - ]-2:2] er alle tal fra -2 til og med 2 (men -2 er ikke med i intervallet). - [-2:2[ er alle tal fra og med -2 til 2 (men 2 er ikke med i intervallet). - ]-2:2[ er alle tal fra -2 til 2 (men -2 og 2 er ikke med i intervallet). I nogle tilfælde kan man støde på en rund parentes, når endepunktet ikke er en del af intervallet. Dvs. at intervallet ]-2:2] også kan skrives (-2:2].

I nogle regnestykker kan det være vigtigt i hvilken rækkefølge, man udfører regnearterne. F.eks er (2+1)⋅3 ikke det same som 2+1⋅3. Regnearternes hierarki bestemmer denne rækkefølge. Regnearternes hierarki fortæller, at man altid skal starte med parenteser, derefter løfte eventuelle potenser og rødder, så gange og dividere og til sidst lægge til og trække fra.

Parenteser er øverst i regnearternes hierarki og er derfor anvendelige, når man vil ændre eller kontrollere rækkefølgen, som regnearterne udføres i. En plusparentes er en parentes med regnearten plus foran. Hvis parentesen står forrest, skriver man ikke plus foran, men der er stadigvæk tale om en plusparentes, f.eks. (3-8). En minusparentes er en parentes med regnearten minus foran, f.eks. -(3-8). Man skal være opmærksom på, at en minusparentes ændrer fortegn på de led, der står inde i parentesen. Hvis x og y er to variable tal, betyder dette f.eks. følgende: - -(x+y)=-x-y - -(-x+y)=x-y - -(-x)=x

Hvad er en brøk? En brøk er en særlig måde at skrive et tal på. Nogle af de brøker vi oftest støder på er f.eks. en halv, 1/2, og en tredjedel 1/3, men egentlig kan alle rationale tal skrives som en brøk. En brøk består af to tal. Tælleren i ”toppen” og nævneren ”nederst.” Tallene er desuden adskilt af en brøkstreg, som betyder det samme som at dividere, så 4/2 er det samme som 4 delt med to altså 2.

Hvad er en potens? En potens er en måde at skrive, at et tal bliver ganget med sig selv et bestemt antal gange. Hvis man f.eks. gerne vil gange 5 med sig selv 10 gange, så er det langt og klodset at skrive 5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5, og derfor skriver vi i stedet 5 i tiende potens, 5^10. Generelt gælder der følgende. $$a^n=⏟(a⋅a⋅…⋅a)┬(n gange) og a^(-n)=⏟(1/a⋅1/a⋅…⋅1/a)┬(n gange)$$, hvor n er et naturligt tal.

Nulreglen er en regel, der siger, at hvis et produkt af gange er 0, så er det fordi en af de faktorer, som man ganger med, er 0. Denne regel er bl.a. anvendelig til at løse ligninger. Eksempel Vi løser ligningen (x+5)⋅(x-2)=0. Når produktet er 0 siger nulreglen at enten x+5 eller x-2 må være 0. $$x+5=0⇒x=-5 eller x-2=0⇒x=2$$ Så vi kan konkludere at x=-5 og x=2 er løsninger til ligningen.

Et praktisk algebraisk værktøj er kvadratsætningerne. Dem kan man ofte få brug for til at løse ligninger eller reduktionsopgaver. Første kvadratsætning $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$

Hvad er reduktion? Reduktion handler om at skrive et matematisk udtryk på en kortere eller mere simpel måde. Mange af emnerne indenfor tal og algebra er anvendelige når du skal reducere. Her er et simpelt eksempel på at reducere: $$6+2a+5b+a+4=10+3a+5b$$