STX Matematik A delprøve 1 Guide

1. Genkend opgavetypen: I en typisk opgave af denne slags vil der stå ”reducér” eller ”faktoriser” efterfulgt af et udtryk med både tal og bogstaver. Dit mål med opgaven er at skrive udtrykket med tal og bogstaver på en kortere måde. 2. Tips og tricks Kvadratsætningerne er i disse opgavetyper din bedste ven! Du kan læse dem herunder ↓ 1. (a+b)²=a²+b²+2ab 2. (a-b)²=a²+b²-2ab 3. (a+b)(a-b)=a²-b²

1. Genkend opgavetypen: I opgave af denne type vil der stå ”løs ligningen”, ”løs ligningssystemet” eller du vil blive bedt om at bestemme x (og evt. y). Hvis der er tale om en andengradsligning genkender du den ved, at x er i andenpotens, og at der som regel står 0 alene på den ene side af lighedstegnet. Formålet med opgaven er at komme frem til en tal-værdi for et bogstav, typisk x. 2. Tips og tricks Værktøjskassen indeholder de ting, som det er tilladt at bruge, når du gerne vil løse en ligning. Du må: ● Lægge det samme tal til på begge sider af et lighedstegn. ● Trække det samme tal fra på begge sider af et lighedstegn. ● Dividere med det samme tal på begge sider af et lighedstegn. ● Gange med det samme tal på begge sider af et lighedstegn. HUSK! Når du deler og ganger, er det en god ide at sætte parenteser, så du er sikker på, at du ikke laver fejl.

1. Genkend opgavetypen Du genkender opgaver i denne kategori, ved at der indgår en eller flere funktioner, typisk kaldet f(x) og/eller g(x). Du kan som eksempel blive bedt om at bestemme f(2), g(f(2)) eller f^-1. 2. Tips og tricks Bestem f(x₀ ) I denne slags opgaver bliver du bedt om at bestemme funktionsværdien for en bestemt værdi for x. Dette betyder, at du skal indsætte værdien på x’s plads i funktionen og komme frem til en værdi for f(x).

1. Genkend opgavetypen I opgaver af denne type vil du typisk se notationen f'. Ord som monotoni, tangentens ligning, hældning, voksende og aftagende indgår også ofte i disse opgaver. Som eksempel kan du blive bedt om at bestemme f' (x), bestemme tangenten til f i et punkt eller bestemme monotoniforhold for f. Alt sammen handler om at analysere funktioners hældning vha. differentialregning. 2. Tips og tricks Hvad betyder f’? Når man differentierer f får man f’, kaldet f mærke, den afledte til f eller f differentieret. f' beskriver hældningen af grafen for f. F.eks. har en lineær funktion (en lige linje) en konstant hældning. Den afledte til en lineær funktion bliver derfor en vandret linje, fordi hældningen er den samme, uanset hvilket x man kigger på. I en andengradsfunktion skifter hældningen fra negativ til positivt, eller omvendt. Det kan man se på, at den afledte, f’, både kan have positive og negative funktionsværdier, og den skærer x-aksen lige præcis der, hvor hældningen skifter fra positiv til negativ, eller fra negativ til positiv.

1. Genkend opgavetypen I opgaver af denne type vil du blive bedt om at bestemme integralet - både det bestemte og ubestemte -, bestemme en stamfunktion eller bestemme arealet under en funktion. Du kan desuden genkende opgaverne ved dette integraltegn ∫ og notationen F(x) (store f af x), der refererer til en stamfunktion til f. 2. Tips og tricks Hvad betyder integralet? At integrere er det modsatte af at differentiere, på samme måde som at gange og division er modsætninger. Når du integrerer f får du en stamfunktion kaldet F. Hvis du differentierer F, kommer du tilbage til f. Integralet af en funktion svarer til arealet mellem grafen for funktionen og x-aksen.

1. Genkend opgavetypen I opgaver af denne type vil du typisk se notationen y' og dy/dx. Du kan f.eks. blive bedt om at bestemme om en funktion f(x) er løsning til differentialligningen, bestemme et linjeelement eller om at opstille en differentialligning. 2. Tips og tricks Hvad er differentialligninger? Differentialligninger hænger sammen med differentialregning på den måde, at de også beskriver hældninger. Ofte bruges differentialligninger til at beskrive hastigheden, som noget ænder sig med, f.eks. hvor hurtigt temperaturen på en varm kop kaffe falder. Du genkender differentialligninger ved, at det er et udtryk y' eller dy/dx (disse to er ens), der indeholder y. Lad os vende tilbage til eksemplet med kaffen og lad så y betegne temperaturen på kaffen. y’ beskriver så ændringen i kaffens temperatur, hvilket jo afhænger af, hvor varm kaffen er. I starten, når kaffen er meget varm, falder temperaturen hurtigere, imens temperaturen vil falde langsommere, når den kommer tættere på stuetemperatur. Temperaturændringen afhænger altså af temperaturen, så y’ afhænger af y. At bestemme om en funktion, f(x), er løsning til en differentialligning handler om at finde ud af,

1. Genkendt opgavetypen I opgaverne af denne type vil du se notationen s ⃗(t) og ord som vektorfunktion, parameterfremstilling, normalvektor og hastighedsfunktion. Du kan f.eks. blive bedt om at bestemme, om et punkt er på parameterkurven for en vektorfunktion eller bestemme en tangent. Opgaver i dette emne er mere analytiske, og du skal ofte bruge viden fra andre emner for at løse dem. 2. Tips og tricks Hvad er en vektorfunktion/parameterfremstilling? For at forstå vektorfunktioner må man først huske på, hvad en vektor er. En vektor er på formen (x y ). Du kan tegne en vektor i et koordinatsystem som en linje med en retning. (x y ) kan tegnes som en linje, der starter i (0,0) og slutter i punktet (x,y), hvor pilen peger imod (x,y). Du må dog gerne flytte rundt på vektorer i et koordinatsystem, uden at det ændrer på dem. F.eks. er den røde og blå vektor på billedet ens, nemlig (2 1 ). Det kan ses ved at pilens retning svarer til at rykke sig to til højre på x-aksen og 1 opad på y-aksen. Når man taler om parameterfremstillinger så repræsenterer vektoren (x y ) dog ofte punktet (x,y). Parameterfremstillinger er på formen s ⃗(t)=(x(t) y(t) ) så x og y afhænger af en parameterværdi, t. Ellers har parameterfremstillinger meget til fælles med funktioner, da de også kan tegnes som kurver i et koordinatsystem. En parameterkurve består af alle punkter ((x(t),y(t)).

1. Genkendt opgavetypen Du genkender opgaver af denne type ved begreberne stokastisk variabel, middelværdi, spredning og naturligvis normalfordeling. I dette emne arbejdes der ofte med sandsynligheder. Du kan f.eks. blive bedt om at bestemme sandsynligheden, P, for at X er mindre end eller lig med 2, skrevet P(X≤2) eller bestemme, om et udfald er exceptionelt. 2. Tips og tricks Stokastisk variabel Først er det godt at vide, hvad en stokastisk variabel er. Tænk på dette eksempel. Når du trækker et kort fra et spil kort, kan du trække enten en ruder, en hjerter, en spar eller en klør. I matematik er det ofte nemmere at arbejde med tal, så man giver derfor mulighederne et tal, så 1=ruder, 2=hjerter, 3=spar og 4=klør. Dette er så en stokastisk variabel X. Til enhver stokastisk variabel knytter der sig en sandsynlighed. F.eks. er sandsynligheden for at få en hjerter ¼. Man skriver så P(hjerter)=P(2)=0,25.