Differentialregning

En sekant til en funktion, f(x), er en ret linje der skærer grafen for funktionen i to punker. Hældningen af en sekant kan findes med formlen for hældningskoefficienten til en ret linje. $$a={(y_2-y_1)}/{(x_2-x_1 )}$$

En tangent til en funktion, f(x), er en ret linje, der skærer funktionen i netop et punkt. I dette punkt har funktionen og tangenten samme hældning. Tangentens hældning i punktet x₀ svarer til det, man kalder differentialkvotienten i x₀, hvortil vi bruger notationer f(x₀). Hvis vi igen ser på sekanten til en funktion, kan man bemærke, at hvis vi lader h blive mindre og mindre, så nærmer sekanten sig til tangenten til funktionen i x-værdien x₀.                    

Tretrinsreglen bruges til at bestemme differentialkvotienten og består af følgende tre trin. 1) Find differensen i funktionsværdier: f(x₀+h)-f(x₀). 2) Bestem sekanthældningen: as= f(x₀+h)-f(x₀)/h. 3) Bestem differentialkvotienten: a_t=a_s.

Frem for altid at skulle bruge tretrinsreglen, kan man finde en forskrift for den funktion, der beskriver differentialkvotienten/hældningen for f(x). Man kalder denne funktion for den afledte eller ’f mærke’ og betegner den f(x). For at finde forskriften for f(x) skal man differentiere f(x).

For at finde en ligning, y, for tangenten til en funktion f(x) i et punkt x₀ skal man bruge formlen $$y=f(x_0)+f^{'(x_0)}⋅(x-x_0)$$

Ekstremumspunkter er punkter, hvor hældningen for en graf skifter fortegn. Dvs. grafen skifter fra at være voksende til aftagende eller omvendt. Hældningen af grafen i et ekstremumspunkter vil altid være 0. Man kan derfor finde ekstremumspunkter til funktionen f(x) ved at løse ligningen f'(x)=0 og kontrollere, at hældningen før og efter løsningen til ligningen har modsat fortegn. Hvis hældningen ikke ændrer fortegn, er der tale om et vendepunkt.

Nogle funktioner kan være vanskelige at differentiere. Her gennemgås to metoder, der kan hjælpe med at differentiere funktioner i nogle særlige tilfælde.

Produktreglen er en metode til at differentiere et produkt af to funktioner. Du kan anvende produktreglen på en funktion f(x), hvis der findes to funktioner g(x) og h(x) så f(x)=g(x)⋅h(x). Et eksempel kunne være funktionen f(x)=(x²+2x)⋅ln⁡(x) hvor g(x)=x²+2x og h(x)=ln⁡(x). I disse tilfælde kan man differentiere funktionen med følgende metode. $$f' (x)=(g(x)⋅h(x))'=g' (x)⋅h(x)+g(x)⋅h'(x)$$