Ligninger og uligheder

“Værktøjskassen” I værktøjskassen kan du finde de redskaber, som det er tilladt at bruge, når du skal løse en ligning. Du må:

• Lægge det samme tal til på begge sider af et lighedstegn.
• Trække det samme tal fra på begge sider af et lighedstegn.
• Gange med det samme tal på begge sider af et lighedstegn.
• Dele med det samme tal på begge sider af et lighedstegn.

En førstegradsligning er en ligning, hvor x ikke er opløftet i potens. F.eks. 2x+4=x+8. Førstegradsligninger har netop en løsning. Man kan løse førstegradsligninger ved at bruge ‘Værktøjskassen.’ Eksempel: $$2x+4=x+8$$ $$2x+4-x-4=x+8-x-4$$ $$x=4$$

Andengradsligninger er ligninger, hvor x er opløftet i potensen 2. F.eks. $$x2-4x+1=4-2x$$ Andengradsligninger kan have nul, en eller to løsninger. Som regel vil du se andengradsligninger på formen, hvor der står 0 alene på den ene side af lighedstegnet. Hvis dette ikke er tilfældet, kan du altid omskrive ligningen. Eksempel $$x^2-4x+1=4-2x$$ $$x^2-4x+1+2x-4=4-2x+2x-4$$ $$x^2-2x-3=0$$

Hvis du skal løse ligninger af højere grad end 2 i hånden, skal du anvende nulreglen. Graden af en ligning er bestemt ved den højeste potens, som x er opløftet til. F. eks. er x^3+5x^2+8x+4=0 en tredjegradsligning, fordi den højeste potens er 3. En ligning af grad n kan have maksimalt n løsninger. For at anvende nulreglen skal man faktorisere udtrykket. Det kan kræve, at man prøver sig lidt frem, før man finder resultatet. Se eksempler på hvordan herunder.

Der er tale om ligningssystemer, når du skal løse flere ligninger med flere forskellige ubekendte. Som hovedregel har du brug for ligeså mange ligninger, som der er ubekendte, for at du med sikkerhed kan løse ligningssystemet. To ligninger med to ubekendte I gymnasiepensum arbejder man normalt med to ligninger med to ubekendte, i hvert fald hvis det er noget, man skal løse i hånden. Du kan se et eksempel herunder:

Uligheder minder på mange måder om ligninger men er kendetegnet ved, at der i stedet for et lighedstegn er brugt et af de fire ulighedstegn: <, >, ,

• xy betyder, x er større end y.
• xy betyder, x er mindre end eller lig med y.
• xy betyder, x er større end eller lig med y.

Resultatet på en ulighed er ikke en bestemt værdi, ligesom det er for ligninger, men blot en værdi som x skal være større end eller mindre end.

Proportionalitet handler om sammenhængen mellem to variable. Måske har du hørt nogen sige at “et problem er blevet blæst helt ud af proportioner”. Med det menes, at sammenhængen mellem problemets reelle størrelse, og hvor stort et problem man gør det til ikke længere giver nogen mening - det er ude af proportioner. Den sproglige forståelse af ordet proportionalitet har meget til fælles med den matematiske forståelse. Ligefrem proportionalitet Der er en ligefrem proportional sammenhæng mellem variablene x og y, hvis y altid kan skrives som y=kx. Da kaldes k proportionalitetsfaktoren eller proportionalitetskonstanten. Denne sammenhæng mellem x og y betyder at hvis x vokser med p procent, så vokser y også med p procent.