Differentialligninger

Vi kan afgøre, om en funktion er en løsning til en differentialligning ved at indsætte den i ligningen og derefter undersøge, om ligningen bliver sand. Eksempel Vi undersøger, om funktionen f(x)=x^2+3 er en løsning til differentialligningen y^'=2x. Hvis den er en løsning, skal den opfylde ligningen så f^' (x)=2x. Vi differentierer derfor f(x). $$f' (x)=2x$$ Det ses nu, at f(x) opfylder differentialligningen, og derfor er den en løsning.

I de to eksempler, der lige er gennemgået, er der tale om partikulære løsninger til differentialligningerne. Med en partikulær løsning menes nemlig en konkret funktion, der løser ligniningen. Differentialligninger har dog generelt mange løsninger, og derfor taler man også om den fuldstændige løsning til en differentialligning. Med den fuldstændige løsning menes en løsning, der rummer alle partikulære løsninger. f(x)=x²+3 er f.eks. en partikulær løsning til differentialligningen y'=2x, men generelt vil alle funktioner på formen f(x)=x²+C, hvor C er en konstant, være løsninger til ligningen. Den fuldstændige løsning er derfor f(x)=x²+C.

Linjeelementer kan bruges til at visualisere en løsning på en differentialligning. Et linjeelement er et linjestykke med en bestemt hældning passende til det punkt, vi undersøger hældningen i. Man kan skrive koordinaterne til et linjeelement som (x₀,f(x₀),f^' (x₀)).

Differentialligninger, der kun indeholder den første afledede funktion, kaldes førsteordens differentialligninger. Med den første afledede menes f.eks. y^', hvor y^'' ville være den anden afledede. Separable differentialligninger Separable differentialligninger er en type førsteordens differentialligninger, der kan løses ved at adskille variable og integrere begge sider. Inden du læser videre her, kan du læse mere om at integrere i guiden ’Integration.’

En klassisk opgavetype i gymnasiet indenfor differentialligninger er at opskrive en differentialligning, der beskriver en bestemt udvikling fra virkeligheden f.eks. væksthastighed eller temperaturændring. Denne type opgave handler om at aflæse de nødvendige oplysninger, så du kan opskrive differentialligningen. Proportionalitetskonstant I opgaver af denne type kan du ofte støde på, at noget er proportionelt med noget andet, f.eks. at temperaturændringen af en kop kaffe er proportionel med, hvor varm kaffen er. Hvis to variable x og y er proportionale, vil det sige, at der findes en konstant k så y=k⋅x. I disse tilfælde kalder man k for proportionalitetskonstanten.

Vi tager udgangspunkt i differentialligningen y^'=-2xy og gennemgår, hvordan du kan visualisere den fuldstændige løsning med et hældningsfelt, hvordan du kan finde et udtryk for den generelle løsning samt finde og se grafen for partikulære løsninger i hældningsfeltet. Vi undersøger den partikulære løsning i tilfældet y(0)=2. Husk altid at tilføje opgavetekst til din aflevering, hvor du forklarer din løsning.