Plangeometri

Cirkler

En cirkel er en bestemt figur i planen (dvs. en todimensionel geometrisk figur).
Centrum, periferi (omkreds), radius og diameter. Her gennemgås de begreber, der udgør en cirkel.

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Sådan bruger du materialet

  • Cirkelperiferi: Linje, der afgrænser cirklen.
  • Centrum, C: Midtpunktet i cirklen. Alle punkter på cirkelperiferien har samme afstand til centrum, nemlig r.
  • Radius, r: Cirklens radius, som er netop den afstand, der er fra centrum til cirkelperiferien. Da r er en afstand, er den altid et positivt tal.
  • Diameter, d: Længden af den rette linje, der går fra cirkelperiferien til cirkelperiferien gennem centrum. Dette svarer også til to gange radius.

Arealet af en cirkel findes med formlen

$$A=r^2⋅π$$

Radius i en cirkel kan derfor findes med formlen r=√A/π , hvis man kender arealet.

Omkredsen af en cirkel findes med formlen

$$O=d⋅π$$

Diameteren i en cirkel kan derfor findes med formlen d=O/π, hvis man kender omkredsen.
Eksempel: Bestem areal og omkreds
En cirkel har radius 4 cm. Jeg bestemmer arealet og omkredsen af cirklen.

Husk at hvis r=4, så er d=2⋅4=8.
A=42⋅π=16⋅π≈50,27 cm2
O=8⋅π≈25,13 cm
Centervinkel, periferivinkel og cirkelbue
Centervinkel er en vinkel, der udspændes fra cirklens centrum.

Periferivinkel er en vinkel, der udspændes fra cirklens periferi.

En cirkelbue er et stykke af cirklens periferi. Når man har en centervinkel eller en periferivinkel, så udspænder de en vinkel, som afgrænser et stykke af cirklens periferi, altså en cirkelbue, som ses markeret med rød på billederne. Hvis centervinklen og periferivinklen udspænder samme cirkelstykke, så er centervinklen præcis dobbelt så stor som periferivinklen.

Hvis du kender centervinklen i grader og ønsker længden af den cirkelbue, som udspændes, kan du bruge formlen

$$L=d⋅π⋅v/360$$

Husk at d=2⋅r. Hvis du kun kender periferivinklen, skal du blot gange den med to for at få centervinklen.
Hvis du kender centervinklen i radianer (et andet mål for størrelsen af en vinkel), så skal du bruge formlen

$$L=v⋅r$$

Eksempel: Bestem længde af cirkelbue
I en cirklen med radius på 2 cm udspændes der en periferivinkel på 35° (grader). Jeg bestemmer længden af den cirkelbue, som vinklen udspænder.

Bemærk først at r=2 så d=2⋅2=4, og fordi vinklen er en periferivinkel, skal den ganges med 2, så vi får centervinklen v=2⋅35=70°. Jeg bestemmer nu længden af cirkelbuen.

$$L=4⋅π⋅70/360≈2,44 cm$$

Eksempel: Bestem centervinkel ud fra længde af cirkelbue

I en cirkel med radius på 5 cm udspændes en cirkelbue på 20 cm. Jeg bestemmer vinklen, som udspænder cirkelbuen.

Bemærk først at r=5 så d=2⋅5=10 og at L=20.
Isoler for v i formlen
L=d⋅π⋅v/360

L/(d⋅π)=v/360

360⋅L/(d⋅π)=v

Indsæt nu i formlen.

v=360⋅20/(10⋅π)≈229,18°

Korde og pilhøjde
En korde er en ret linje mellem to punkter på cirkelperiferien. Diameteren er den længste korde.

Man finder længden af en korde ud fra centervinklen, som udspænder den og diameteren i cirklen.

$$K=d⋅sinsin(v/2)$$

Pilhøjden, h, er den korteste afstand fra midtpunktet af en korde til cirkelperiferien.

Pilhøjden er givet ved formlen

$$h=r⋅(1-coscos(v/2))$$

r er cirklens radius, og v er vinklen, der udspænder korden.

Eksempel: Bestem længden korden og pilhøjden

En cirkel har radius 10 cm, og fra centrum udspændes en vinkel på 60°. Jeg bestemmer længden af den korde, der udspændes samt pilhøjden.

Bemærk at r=10, d=2⋅10=20 og v=60. Brug nu formlerne.

Bemærk at r=10, d=2⋅10=20 og v=60. Brug nu formlerne.

$$K=20⋅sinsin (60/2) =10 cm$$

$$h=10⋅(1-coscos (60/2) )≈1,34 cm$$

Eksempel: Bestem centervinklen ud fra længden af korden

En cirkel har en radius på 10 cm, og en centervinkel udspænder en korde på 15 cm. Jeg bestemmer centervinklen.

Bemærk først at r=10 så d=2⋅10=20 og K=15.

Isoler nu v i formlen.

$$K=d⋅sinsin (v/2) $$

$$K/d=sinsin (v/2) $$

$$(K/d)=v/2 $$

$$2⋅(K/d)=v $$

Indsæt nu i formlen.

$$v=2⋅(15/20) ≈97,18°$$

Tangent

En tangent til en cirkel er en ret linje, der skærer cirkelperiferien i nøjagtig et punkt.

Cirkeludsnit og cirkelafsnit

Et cirkeludsnit er et stykke af en cirkel, som afgrænses af en cirkelbue samt ”vinkelbenene” til en centervinkel. Et cirkeludsnit har altså klassisk formen som et stykke af en pizza.

Et cirkelafsnit er et stykke af en cirkel, som afgrænses af en cirkelbue og en korde. Man kan altså opdele et cirkeludsnit i to dele: En ligebenet trekant (trekant med to sider af samme længde) og et cirkelafsnit.

$$A_cirkeludsnit=v/360⋅π⋅r^2$$

Hvis man kender vinklen i radianer, skal man i stedet bruge formlen

$$A_cirkeludsnit=v/2⋅r^2$$

Det er lidt mere kompliceret at finde arealet af et cirkelafsnit. Ideen er at finde arealet af cirkeludsnittet og så fratrække arealet af den ligebenede trekant. Du kan finde arealet af den ligebenede trekant med formlen

Atrekant=K⋅(r-h)/2, hvor K er længden af korden, og h er længden/højden af pilen.

Arealet af cirkelafsnittet er da givet ved

Acirkelafsnit=Acirkeludsnit-Atrekant

Eksempel: Bestem areal af cirkeludsnit

I en cirkel med radius på 8 cm er en centervinkel på 65°. Centervinklen afgrænser et cirkeludsnit. Jeg bestemmer arealet af cirkeludsnittet.

Bemærk først at r=8 og v=65. Brug nu formlen for arealet af et cirkeludsnit.

$$A=65/360⋅π⋅8^2≈36,30 cm^2$$

Rumgeometri

Prisme En prisme er en figur i rummet (dvs. en tredimensionel figur). En prisme er kendetegnet ved at have to ens endeflader, som er parallelle til hinanden. Endefladerne er polygoner. Endefladerne forbindes af parallelogrammer, som udgør prismens sider. Antallet af sider i prismen vil være det samme som antallet af sider på endefladen. Hvis endefladen er en trekant, så har prismen altså også tre sider. Man betegner også endefladen som grundfladen, G, og prismens højde angives med h. Ofte arbejder vi med ”rette” prismer. En prisme er ret, hvis fladerne står vinkelret på hinanden. Fx er en terning/kube en ret prisme. Siderne i en ret prisme er rektangler.

Kugleafsnit og kuglekalot

Et kugleafsnit er et stykke af en cirkel, som fås ved at ”skære kuglen over” med et plant snit. Et kugleafsnit har en side, som er en plan cirkel, og en side som er en krum overflade. Den krumme overflade kaldes for en kuglekalot.

Kugleskive

Hvad man ”skærer en kugle over” med to planer, der er parallelle, så får man en kugleskive imellem de to planer. Overfladen på en kugleskive består af to cirkler med hver deres radius, a og b, og en krum overflade. Afstanden mellem de to cirkler bestemmer cirkelskivens højde, h. Man kalder desuden den krumme overflade for et kuglebælte.

Kugleudsnit

Et kugleudsnit er en del af en kugle, som man får ved at udspænde en vinkel i rummet fra kuglens centrum. Overfladen på et kugleudsnit består af to krumme overflader. Den ene udspændes af vinklen, og den anden er en kuglekalot.

Kegle

En kegle er en figur i rummet, som består af en cirkel som grundflade og en spids. Spidsen og grundfladen er forbundet med en krum overflade.

Udfoldning af kegle

Udfoldning af en kegle handler om at omdanne den tredimensionelle kegle til en todimensionel figur ved at folde den ud. Du kan måske forestille dig at ”klippe en kegle op” i en lige linje fra grundfladen til spidsen og så folde den krumme overflade ud så den ligger fladt på bordet foran dig.

Keglestub

Hvis man deler en kegle i to ved at skære den over med et plan, der er parallelt med keglens grundflade, så får man en ny mindre kegle og en keglestub. En keglestub består altså af to parallelle grundflader, der er cirkler, hvor den ene cirkel er større end den anden. Grundfladerne forbindes af en krum overflade.

Pyramide

En pyramide er en figur i rummet, som har et polygon som grundflade og går op i en spids. Siderne i en pyramide er trekanter. Oftest arbejder vi med regulære pyramider. En pyramide kaldes regulær, hvis grundfladen er en regulær polygon (dvs. siderne er lige lange, og vinklerne er lige store).

Pyramidestub

Hvis man deler en pyramide i to dele ved at skære den over med et plan, der er parallelt med grundfladen, så får man en mindre pyramide og en pyramidestub. En pyramidestub har to parallelle grundflader, som er polygoner. Siderne i en pyramidestub er trapezer. Når vi arbejder med regulære pyramidestubber, så er grundfladerne ligedannede og siderne er ligebenede trapezer.