Funktionsanalyse

Definitionsmængde og værdimængde er begreber, man ofte glemmer, når man snakker om funktioner, selvom de faktisk er ganske centrale. Definitionsmængden for en funktion f(x) består af alle de værdier for variablen x, som vi tillader os at sætte ind i funktionen. I de fleste funktioner du vil støde på i gymnasiet, består definitionsmængden af alle (reelle) tal, medmindre der specifikt står noget andet. Der kan dog være enkelte undtagelser, f.eks. funktionen k(x)=1/x. Fordi det ikke er tilladt at dividere med 0, må man i k(x) ikke indsætte værdien 0, og derfor er 0 ikke en del af funktionens definitionsmængde.

Nulpunkter eller rødder af en funktion er de værdier af x, hvor funktionen skærer x-aksen, altså hvor f(x) = 0. For at finde nulpunkterne ved beregning skal vi altså løse ligningen f(x) = 0. Lad os se på et eksempel. Eksempel 1: Find nulpunkterne for funktionen f(x) = x² - 4. Løsning ved beregning: Vi sætter f(x) lig med 0 og løser ligningen. f(x)=0 ⇒ x² -4=0 ⇒ x²=4 ⇒ x=±2

En fortegnsundersøgelse bestemmer fortegn (plus eller minus) for funktionsværdien f(x) indenfor bestemte intervaller for x. For at lave en fortegnsundersøgelse skal man først bestemme eventuelle nulpunkter. Lad os kigge på et eksempel. Eksempel: f(x) = x³ - 2x² - 8x

Ekstremumspunkter eller ekstrema er funktionens toppunkter. Antallet af ekstremumspunkter afhænger af, hvilken type funktion man betragter. F.eks. har en andengradsfunktion kun en enkelt top altså et enkelt ekstremum.

Ethvert ekstrema er et lokalt ekstrema. Et lokalt ekstrema betyder, at punktet i et begrænset område at grafen har den højeste eller laveste funktionsværdi (y-værdi). Eksempel: Lokale ekstrema for funktionen f(x)=2x³-3x²-12x Løsning ved beregning: f(x) differentieres. f' (x)=3⋅2x^(3-1)-2⋅3x^(2-1)-12 ⇒ f' (x)=6x²-6x-12

Globale ekstrema er ekstremumspunkter, hvor funktionsværdien er allerstørst eller allermindst. I foregående eksempel findes der ikke et globalt maksimum eller minimum, da funktionsværdien fortsætter til plus og minus uendelig. De to lokale ekstrema er i punkterne (-1,7) og (2,-20), men da funktionsværdien 7 ikke er den størst mulige og funktionsværdien -20 ikke er den mindst mulige, er der ikke tale om globale ekstrema. Eksempel: Globalt ekstremum i andengradsfunktion f(x)=x²-4x

Monotoniforhold beskriver, om en funktion er voksende eller aftagende i bestemte intervaller. For at bestemme monotoniforhold ved beregning er det nødvendigt at finde alle de steder, hvor funktionen har hældningen 0, da dette bestemmer intervallerne. Eksempel: Bestem monotoniforholdene for funktionen f(x)=2x³-3x^2-12x I afsnittet om lokale ekstrema er det ved beregning vist, at denne funktion har lokale ekstrema ved x-værdierne -1 og 2. Vi er derfor interesserede i følgende intervaller, når vi skal beskrive monotonien: - ]-∞;-1] - [-1;2] - [2;∞[

Krumning beskriver, hvordan en funktions graf kurver - om den kurver ”opad” eller ”nedad”. Når vi undersøger krumning for en funktion, kan det være relevant at analysere den dobbelt afledede til funktionen, da denne beskriver funktionens krumning.

Punkter hvori krumningen skifter fra konkav til konveks eller omvendt kaldes vendepunkter. For en funktion f(x) findes vendepunkter de steder, hvor krumningen er 0, dvs. f'' (x)=0. Grafens tangent i et vendepunkt kaldes for en vendetangent og er karakteriseret ved, at den på den ene side af vendepunktet er under grafen for funktionen, imens den er over grafen på den anden side af vendepunktet. Ved en konveks krumning ligger tangenter til grafen ellers under grafen imens de ved en konkav krumning ligger over grafen.

Krumningsforhold er en samlet beskrivelse af, om funktionen er konveks eller konkav i bestemte intervaller. Det er nødvendigt at bestemme funktionens vendepunkter, da disse bestemmer de intervaller som funktionens krumning undersøges i. Eksempel: Bestem krumningsforhold for funktionen f(x)=2x⁴-4x³+2x Løsning ved beregning: Vi bestemmer vendepunkterne. Først bestemmes den dobbelt afledede. f' (x)=8x³-12x²+2 f'' (x)=24x²-24x

En asymptote er en ret linje, som en funktion kommer tættere og tættere på. Man kan beskrive en asymptote med ligningen for en ret linje y=ax+b, medmindre der er tale om en lodret asymptote. Det er typisk i arbejdet med potensfunktioner, eksponentialfunktioner og evt. i et forløb om logistisk vækst, at du vil støde på asymptoter. Her trænes eksempler på at kunne bestemme asymptoter ved at aflæse dem i funktionens grafiske repræsentation.

Optimeringsopgaver er en type problemer, der handler om at finde den bedste eller mest optimale løsning på noget, ofte fra den virkelige verden. Opgaverne involverer som regel, at man skal finde den maksimale eller minimale værdi af en funktion under givne betingelser. Løsningen til sådanne opgaver kræver ofte anvendelse af funktionsanalyse og differentiering.