Funktioner af to variable

Man kan undersøge, om et punkt (med tre koordinater) (x₀,y₀,z₀) er et punkt på grafen for en funktion fx,y=z ved at undersøge, om følgende ligning er sand. $$fx_0,y_0=z_0.$$

GeoGebra Du kan definere og indtegne funktioner af to variable ved at åbne en side 3D-grafik. I input kan du på samme måde som for funktioner af en variabel definere en funktion af to variable: f(x,y)=⋯.

For en funktion af en variabel f(x)=y kan vi som regel finde den tilhørende y-værdi, hvis vi kender en bestemt x-værdi, x₀. Vi kan også løse ligningen f(x)=y₀, hvis vi kender en bestemt y-værdi og ønsker at finde den tilhørende x-vsærdi. For funktioner af to variable forholder det sig en smule mere kompliceret, da vi arbejder med to variable. Vi indfører derfor begrebet snitfunktion.

Vi har nu betragtet snitkurverne, hvor enten x eller y fastholdes, og funktionsværdien z derfor afgøres af en funktion af en variabel nemlig g(x)=z eller h(y)=z. Men vi kan også fastholde en bestemt værdi for z. Hvis vi gør dette, får vi en ”vandret” funktion. Dvs. alle funktionsværdierne ligger i samme højde (samme værdi på z-aksen). Vi kalder denne slags funktioner for niveaukurver. Vi bestemmer en niveaukurve ved at isolere y i ligningen f(x,y)=z0, hvor z0 er en bestemt z-værdi.

For funktioner af en variabel x kan vi finde den afledede ved at differentiere med hensyn til x. Hvis vi differentierer f(x) skriver vi $$f^{' (x)}=d/dx f(x).$$ For funktioner af to variable kan vi både differentiere med hensyn til variablen x og med hensyn til variablen y. Man taler derfor om de partielle afledede. Vi skriver de partielle afledede på følgende måde: f_x' (x,y)=∂/∂x f(x,y)$$, den partielle afledede med hensyn til x. f_y' (x,y)=∂/∂y f(x,y)$$, den partielt afledede med hensyn til y.

Vi kan bruge de partielle afledede til at bestemme tangentplaner. For funktioner af en variabel kan vi finde en tangent. Forskriften for en tangent er forskriften for en ret linje, nemlig f(x)=y=ax+b. For funktioner af to variable kan vi på samme måde definere et tangentplan. Et ikke-lodret plan i rummet kan beskrives ved ligningen $$f(x,y)=z=ax+by+c.$$

De partielle afledede bruges også til at bestemme gradienten. Gradienten er en vektor i planet (dvs. i to dimensioner), hvor den første koordinat er den partielle afledede med hensyn til x, og den anden koordinat er den afledede med hensyn til y. Vi bruger følgende notation. f(x,y) = (f_x'(x,y) f_y'x,y

For funktioner af en variabel kan vi finde toppunkter og vendepunkter ved at undersøge, hvornår funktionen har hældningen 0. For funktioner af to variable kan vi finde såkaldte stationære punkter ved hjælp af gradienten. Hvis P(x0,y0,z0) er et punkt på grafen for f(x,y), så kalder man P for et stationært punkt hvis ∇f(x₀,y₀ )=(00)

Hvis vi ønsker at finde alle stationære punkter til en funktion f(x,y), er vi nødt til at løse ligningen ∇f(x,y)= (0 0). Dette bliver til et ligningssystem i form af to ligninger med to ubekendte. I nogle opgaver kan det være nødvendigt at bruge et CAS-værktøj til at løse dette ligningssystem.

Dobbeltafledede er et begreb, der bruges om funktioner, som vi er kommet frem til ved at differentiere to gange. Når vi differentierer en funktion f(x,y) en gang, så får vi de partielle afledede, dvs. $$f_x^' (x,y)$$ og $$f_y^' (x,y)$$. Når vi differentierer de partielle afledede, så får vi de dobbeltafledede. Hvis man differentierer f_x'(x,y) med hensyn til x, får man f_xx'' (x,y). Hvis man differentierer f_x'(x,y) med hensyn til y, får man f_xy'' (x,y). Hvis man differentierer f_y'(x,y) med hensyn til x, får man f_{yx'' (x,y). Hvis man differentierer fy'(x,y) med hensyn til y, får man fyy'' (x,y).}

For funktioner af en variabel kan vi lede efter punkter, hvor hældningen er 0. Disse punkter kan enten være et minimum, et maksimum eller et vendepunkt. For funktioner af to variable kan vi lede efter stationære punkter, hvor gradienten er 0. Vi kan bruge de dobbeltafledede til at bestemme, om det stationære punkt er et maksimum, et minimum eller et såkaldt saddelpunkt. Et maksimum vil ligne en top, og hældningen er negativ i alle retninger væk fra punktet. Et minimum ligner også en top, men hældningen er positiv i alle retninger væk fra punkter. I et saddelpunkt er gradienten 0, men der er både positive og negative hældninger når man betragter alle retninger væk fra punktet.