Integralregning

Når man integrerer en funktion får man en ny funktion. Den funktion man får, når man integrerer en funktion,f(x), kaldes stamfunktionen til f(x). Man betegner normalt stamfunktionen til f(x) med F(x), og vi anvender følgende notation. $$F(x)=∫ f(x) dx$$ Notationen her betyder at f(x) integreres, og dx betyder at der integreres med hensyn til variablen x.

Vi har nu set en metode for, hvordan man kan undersøge, om en funktion opfylder at være en stamfunktion. I næste trin ønsker vi at se nærmere på, hvordan vi selv kan finde frem til stamfunktioner. Når vi bestemmer stamfunktionen til f(x), altså F(x)=∫ f(x) dx, siger vi, at vi bestemmer det ubestemte integral af f(x). Det ubestemte integral er altså en funktionsforskrift for en stamfunktion. Vi vil senere se nærmere på det bestemte integral.

Følgende regneregler gælder når vi arbejder med integraler. 1. $$∫ f(x)+g(x) dx=∫ f(x) dx+∫g(x) dx.$$

Vi ser nu nærmere på det bestemte integral. Det bestemte integral er kendetegnet ved grænseværdierne a og b og er en metode til at bestemme arealet under en graf i et interval [a,b].

I nogle opgavetyper kan du støde på funktioner, der er sværere at integrere. Dette gælder f.eks. for sammensatte funktioner, eller hvis to funktioner ganges sammen. Her gennemgås der derfor to metoder, du kan bruge i disse tilfælde.

Partiel integration er en anden metode man bruger til at integrere, og denne metode bruges især for at integrere en funktion, der er et produkt af to andre funktioner - dvs. to andre funktioner ganget sammen. Formlen for partiel integration ser ud på følgende måde. $$∫ h(x)g(x) dx=h(x)G(x)-∫ h' (x)G(x) dx$$ I formlen er G(x) en stamfunktion til g(x), og f'(x) er den afledte til f(x). Det er op til en selv at vælge hvilken funktion man vil integrere, og hvilken man vil differentiere. Dog resulterer et hensigtsmæssigt valg ofte i at opgaven bliver betragteligt lettere at løse.

Integralregning kan bruges til at bestemme længden af kurver. Kurver er her et begreb for et stykke af en funktion. Hvis f(x) er en funktion, og vi ønsker at bestemme længden, L, af kurven for f(x) fra x-værdien a til b så kan vi benytte følgende formel. $$L=∫_a^b\sqrt{(1+f'(x)^2 )} dx$$ Til denne opgavetype vil du som regel altid have hjælpemidler til rådighed, så integralet kan findes i dit fortrukne CAS-værktøj.

Omdrejningslegemer er rummelige figurer der opstår ved at forestille sig, at grafen for en funktion roteres rundt om x-aksen. Man kan benytte integralregning til at bestemme volumen af sådan en figur. Volumen bestemmes med følgende formel. $$V=π⋅∫_a^b (f(x))^2 dx$$