Rentesregning og annuitet

Sådan bruger du materialet

Kapitalfremskrivning
Hvis du har en opsparing, og renten er positiv, så vil opsparingen langsomt vokse over tid. Dette skyldes, at opsparingen tilskrives renter. Hvis man undersøger, hvor stor opsparingen er på et bestemt tidspunkt i fremtiden, siger man, at man fremskriver kapitalen.

Eksempel med tilskrivning af renter
Til min konfirmation får jeg 10.000 kr i gave, som jeg ønsker at spare op i 4 år. Renten på opsparingen er 4% om året.

1. Det første år får jeg 4% af 10.000 kr i renter. Jeg udregner 4% af 10.000 ved at gange med 0,04.
10.000⋅0,04=400 kr

Jeg lægger de 400 kr sammen med min opsparing på 10.000 kr.
10.000+400=10.400 kr

I stedet for først at gange med renten og derefter lægge tallene sammen, kan man gange med renten plus 1, altså 1,04.
10.000⋅1,04=10.400 kr

2. Det andet år får jeg 4% af 10.400 kr i renter. Denne gang ganger jeg blot tallet med 1,04.
10.400⋅1,04=10.816 kr

Læg mærke til at jeg andet år tjener 416 kr.

3. Det tredje år får jeg 4% af 10.816 kr i renter. Jeg ganger med 1,04.
10.816⋅1,04=11.248,64 kr

Læg mærke til at jeg på tredje år tjener 432,64 kr.

4. Det fjerde år får jeg 4% af 11.248,64 kr i renter. Jeg ganger med 1,04.
11.248,64⋅1,04=11.698,5856 kr

Læg mærke til at jeg på fjerde år tjener 449,9456 kr.
Efter fire år er kapitalen altså vokset fra 10.000 kr til næsten 11.700 kr.

Hvis man kigger eksemplet igennem, kan man lægge mærke til, at beløbet ganges med 1,04 for hvert år, der går, så i alt fire gange. Men at gange med 1,04 fire gange er det samme som at gange med 1,044.

10.000⋅1,044=11.698,5856

Dette fører til renteformlen.
Renteformlen

Renteformlen kaldes også kapitalformlen, og den bruges til at beregne kapitalfremskrivningen.

$$K=K_0・(1+r)^n$$

• K_0 er startkapitalen, dvs. det beløb, der sættes ind på opsparingen fra starten.
• r er renten som decimaltal pr. termin. 4% er f.eks. 0,04.
• n er antal terminer.
• K er slutkapitalen.

Fra foregående eksempel har vi følgende:
– K_0=10.000
– r=0,04
– n=4
– K=11.698,5856

Variationer af renteformlen
Renteformlen kan omskrives så man også kan bruge den til at finde startkapitalen, antal terminer og renten.

Man finder startkapitalen med formlen
$$K_0=K/(1+r)^n$$

Man finder antal terminer med formlen
$$n=lnln K/K0 ln⁡(1+r)$$

Man finder renten med formlen
$$r=\sqrt[n]{K/K_0}-1$$

Bevis for variationer af renteformlen
Isoler K0 i formlen

Gennemsnitlig rente

Hvis renten ikke er fast, kan det være nødvendigt at kende den gennemsnitlige rente for at kunne bruge renteformlen. Den gennemsnitlige rente er den rente, der giver samme slutresultat som de varierende renter.
Det er lidt mere kompliceret at udregne den gennemsnitlige rente, end det er at udregne almindelige gennemsnit. F.eks. er den gennemsnitlige rente af renterne r1=2, r2=7 og r3=3 ikke 4 selvom

$$2+7+3/3=4.$$

Du finder den gennemsnitlige rente med formlen
$$r_g=\sqrt[n]{(1+r_1)・(1+r_2)・(1+r_3)⋯(1+r_n)}-1$$

Husk at n er antallet af terminer. Hvis renten er årlig, så er n antal år.

Eksempel
Du skal spare op i tre år. Første år kan du få 2% i rente, andet år kan du få hele 7% i rente, og tredje år får du 3% i rente. Du undersøger den gennemsnitlige rente.

$$r_g=\sqrt[3]{(1+0,02)・(1+0,07)⋅(1+0,03)}-1=0,03978$$

Så den gennemsnitlige rente er 3,978%.

Effektiv rente
Den effektive rente er den rente, man reelt får på sin opsparing. For at forstå dette begreb tager vi udgangspunkt i et eksempel.

To banker tilbyder samme årlige rente nemlig 6% p.a. – p.a. står for pro anno og betyder per år.
Bank 1 tilskriver 6% i rente en gang om året. Bank 2 har 6% i årlig rente men tilskriver renter hver måned. Dvs. renten pr. måned er 6/12=0,5%. Vi ser nu, om de to banker tilbyder samme årlige effektive rente, hvis vi har en opsparing på 10.000 kr.

Bank 1:
På et år vokser opsparingen med 6%: 10.000⋅1,06=10.600 kr

Bank 2:
Der tilskrives rente på 0,5% 12 gange på et år: 10.000⋅1,005^12=10.616,78 kr
Dvs. bank 2 tilbyder en højere årlig effektiv rente end bank 1, på 6,1678%.