Linjer Vektorer

En vektor er en linje bestående af en længde og en retning. Man skriver en vektor på denne måde:
$$v^→=(x/y)$$

I et koordinatsystem bestemmer vektorens x- og y-koordinat, hvor mange enheder man skal rykke sig på henholdsvis x- og y-aksen. I modsætning til punkter (koordinatsæt) kan man placere en vektor hvor som helst i koordinatsystemet. Det er stadigvæk den samme vektor.

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Sådan bruger du materialet

Eksempler:
På billedet herunder indtegnes vektorerne $$a^→=(2/-1) og b^→=(-5/-7).$$

Længden af en vektor

Man bruger Pythagoras sætning a2+b2=c2 til at bestemme længden af en vektor.

Længden af vektoren c→=(a/b) er |c→|=√(a2+b2)

Eksempel

En vektor mellem to punkter (x1,y1 ) og (x2,y2) findes ved (x2-x1/y2-y1).

Eksempel

Hvis vektoren går fra et punkt A til et punkt B, skriver man ofte AB→.

En vektor fra origo, altså (0,0), til et punkt P(x_0,y_0) kaldes stedvektoren til P og er bestemt ved

OP→=(x0/y0)

Regneregler med vektorer

Man kan regne med vektorer på næsten samme måde, som man regner med tal. Dvs. du kan lægge vektorer sammen, du kan trække dem fra hinanden, og du kan gange en vektor med en konstant. Dog kan du ikke uden videre gange to vektorer sammen.

Du plusser og minusser med vektorer på følgende måde:

$$(x_1/y_1 )+(x_2/y_2 )=(x_1+x_2/y_1+y_2 )$$
$$(x_1/y_1 )-(x_2/y_2 )=(x_1-x_2/y_1-y_2 )$$

Eksempel

n kan gange en konstant på en vektor på følgende måde

$$a⋅ (x_1/y_1 )=(a⋅x_1/a⋅x_2 )$$

Eksempel

Læg mærke til at retningen ikke ændrer sig, vektoren bliver blot 3 gange så lang.

Skalarproduktet

Man kan ikke gange to vektorer sammen. I stedet bruger man skalarproduktet også kaldt vektorernes indre produkt eller prikproduktet, hvilket man markerer med en prik, der ligner den man ser, når man ganger (nogle gange er den dog større). Man finder skalarproduktet på følgende måde:

$$(x_1/y_1 )⋅(x_2/y_2 )= x_1⋅x_2+y_1⋅y_2$$

Læg mærke til at skalarproduktet ikke giver en vektor, men et tal.
• Hvis skalarproduktet mellem to vektorer er 0, så står vektorerne vinkelret på hinanden og man kalder dem ortogonale.

Retningsvektor
Hvis man har en linje i et koordinatsystem, f.eks. grafen for en lineær funktion, kan man tale om linjens retningsvektor. En retningsvektor til en linje er en hvilken som helst vektor, der er parallel med linjen, og dermed har samme retning. Hvis linjens ligning er på formen y=ax+b, så er (1/a) altid en retningsvektor for linjen.

Eksempel

f(x)=-2x+4

Da er a=-2 og vektoren (1/-2) er derfor en retningsvektor for linjen. Læg også mærke til at der på billedet er indtegnet to andre vektorer, der er parallelle med linjen. (1/2) er altså bare en af uendeligt mange retningsvektorer for linjen.

Linjens ligning

Måske er du stødt på linjens ligning y=ax+b før. I denne udgave af linjens ligning er b grafens skæring i y-aksen, og a er hældningskoefficienten for linjen - dvs. hvor mange enheder man flytter sig på y-aksen, når man bevæger sig en enhed frem på x-aksen. Linjens ligning ud fra to punkter Hvis du kender to punkter A(x1,y1 ) og B(x2,y2), kan du altid bestemme a og b i linjens ligning med formlen $$a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )$$ $$b=y_1-a⋅x_1$$

Parameterfremstilling for en linje

En parameterfremstilling er ligesom linjens ligning en måde at skrive en linje på. For at skrive en parameterfremstilling for en ret linje skal man bruge et punkt på linjen og en retningsvektor for linjen. Hvis P(x0,y0) ligger på linjen, og den har retningen r ⃗=(■(r_1@r_2 )), så er parameterfremstillingen givet ved $$s^→(t)=(x_0/y_0)+t⋅(r_1@r_2)$$ Når du indsætter en værdi, t, i s→(t), så får du en vektor (x(t)/y(t)). Denne vektor er stedvektor til punktet (x(t),y(t)), som ligger på linjen for parameterfremstillingen. Man skriver også at s→(t)=(x(t)/y(t)). Husk at der ligger uendeligt mange punkter på en linje, og at der findes uendeligt mange retningsvektorer for den samme linje, så en linje kan have uendeligt mange forskellige parameterfremstillinger. Eksempel En linje skærer i punktet (3,1) og har retning (-2/3). Aflæs først x0=3, y0=1, r1=-2 og r2=3. Opskriv nu parameterfremstillingen for linjen: $$s^→(t)=(3/1)+t⋅(-2/3)$$

Parallelle og ortogonale linjer

Ortogonalitet ud fra retningsvektorer To linjer er parallelle, hvis deres retningsvektorer er parallelle og ortogonale, hvis deres retningsvektorer står vinkelret på hinanden. For at bestemme om to linjer, l og k, er ortogonale skal du ført finde deres retningsvektorer. Lad os kalde dem rl→ og rk→. Beregn nu retningsvektorernes skalarprodukt. Hvis rl→⋅rk→=0, så står retningsvektorerne vinkelret på hinanden, og linjerne er ortogonale. For at bestemme om l og k er parallelle skal du igen bruge retningsvektorerne. For at rl→ og rk→ er parallelle, skal de være ortogonale med hinandens tværvektorer. Dvs. hvis rl→⋅rk→ ̂=0 eller rk→⋅rl→ ̂=0, så er retningsvektorerne parallelle, og dermed er linjerne parallelle. Bemærk at linjer med samme hældning er parallelle. Hvis du kan aflæse linjernes hældning direkte, er det ikke nødvendigt at bruge retningsvektorerne.

Skæringspunkter mellem to linjer

Hvis to linjer ikke er parallelle, vil de altid have et skæringspunkt. Når man kender ligningen for to linjer, der ikke er parallelle, kan man derfor løse ligningssystemet bestående af de to linjers ligninger. På denne måde finder man frem til det punkt (x,y), som opfylder begge ligninger og dermed ligger på begge linjer. Eksempel Linjerne a:y=0,5x+2 og b:x+3y+4=0 er ikke parallelle. Find deres skæringspunkt ved at løse ligningssystemet: 1. y=0,5x+2 2. x+3y+4=0

Vinklen mellem to linjer

Når to linjer skærer hinanden, bliver der dannet fire vinkler, der parvist er lige store. Hvis linjerne er ortogonale (står vinkelret på hinanden), så er alle fire vinkler 90°. På billedet kaldes vinklerne v og w. Det gælder altid at v+w=180. Man kan bestemme vinklerne mellem to linjer ud fra deres retningsvektorer og formlen for vinklen mellem to vektorer. $$cos⁡(v)=(a^→⋅b^→)/(|a^→|⋅|b^→|)$$

Projektion af punkt på linje

Projektionen af et punkt, P, på en linje, l, er det punkt, P0, som opfylder at linjen gennem både P og P0 står vinkelret på l. For at bestemme projektionen P0 opskrives en parameterfremstilling for linjen, der på billedet er kaldt m. P0 er så skæringspunktet mellem l og m. Du opskriver en parameterfremstilling for m ved at bruge punktet P og bruge normalvektoren til l, som retningsvektor for m. På denne måde sikrer du dig, at linjerne står vinkelret på hinanden, og at m går gennem P.

Projektion af vektor på vektor

Hvis to vektorer a→ og b→ er tegnet ud fra det samme startpunkt, så svarer projektionen af a→ på b→ til at gå vinkelret ned fra spidsen af a→ til ( b) ⃗ og tegne en vektor fra udgangspunktet til det punkt. Man kalder så vektoren projektionen af a→ på b→, hvilket skrives a→b→.

Afstand

Afstand mellem to punkter

Afstanden mellem to punkter A(x1,y1) og B(x2,y2) findes ved at formlen dist(A,B)=√(x2-x1)2+(y2-y1 )2 , som kommer fra Pythagoras’ sætning. Eksempel Afstanden mellem (-1,2) og (3,5) $$\sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{(16+9)}=\sqrt{25}=5$$

Cirkler

Cirklens ligning Ligesom linjer kan cirkler også skrives som en ligning. En cirkel med centrum i punktet C(a,b) og radius r kan skrives som $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Eksempler Cirkel med centrum i (2,1) og radius 3. $$(x-2)^2+(y-1)^2=3^2$$ Cirkel med centrum i (-3,-2) og radius 1. $$(x-(-3))^2+(y-(-2))^2=1^2$$