Polynomier

I denne guide kan du blive klogere på, hvordan et polynomium opfører sig og hvilke egenskaber det har. Guiden introducerer relevante begreber, formler og beviser for polynomier, dog med særligt fokus på andengradspolynomiet.

Centrale emner i denne guide er toppunktsformlen samt løsningsformlen for rødder i et andengradspolynomium.

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Sådan bruger du materialet

Du er sandsynligvis allerede stødt på polynomier. F.eks. er den lineære funktion f(x)=ax+b et førstegradspolynomium, og andengradsfunktionen f(x)=ax2+bx+c er et andengradspolynomium. Sagt helt generelt så er et polynomium en funktion, der består af led, hvor en konstant er ganget på en variabel opløftet til en positiv potens. Den højeste potens, som variablen er opløftet til, bestemmer graden af polynomiet.

Et eksempel på et polynomium er 3x2 + 2x + 1, hvor 3, 2 og 1 er konstanter, og x er variablen. Den højeste potens af x er 2, så det er et andengradspolynomium.

På billedet her kan man se eksempler på tre forskellige polynomier

f(x) er et andengradspolynomium.
g(x) er et førstegradspolynomium.
h(x) er et tredjegradspolynomium.

Hvad er rødder til et polynomium?

Rødder til et polynomium er de værdier for x, der opfylder at f(x)=0. De kaldes derfor også for nulpunkter. Grafisk betyder det de værdier af x, som grafen skærer x-aksen i.

Hvad er et ekstremum?

Et ekstremum for et polynomium er et punkt på grafen for polynomiet, hvor funktionen har et lokalt maksimum eller minimum. Det vil sige, at funktionen ændrer sig fra at stige til at falde (lokalt maksimum) eller fra at falde til at stige (lokalt minimum). På en graf svarer dette til dens “toppe”, altså de punkter som den vender i.

Andengradspolynomier

Et andengradspolynomium er en funktion på formen f(x) = ax2+ bx + c, hvor a, b og c er tal og a ≠ 0. Det er kendetegnet ved at have en variabel x opløftet i potensen 2.

Toppunktet

Et andengradspolynomium har netop et ekstremum kaldet toppunktet, hvilket findes i det punkt, hvor grafen vender. Herunder kan du se en formel for, hvordan du finder dette punkt, samt et bevis for formlen.

Rødder

Et andengradspolynomium kan have 0, 1 eller 2 rødder (skæringer med x-aksen). Se på billedet herunder. Den røde graf har ingen rødder, den grønne graf har en enkelt rod og den blå graf har to rødder.

Faktorisering af andengradspolynomier

Faktorisering af andengradspolynomier kan være nyttigt, når man vil finde nulpunkterne (rødderne) af polynomiet. Faktorisering går ud på at skrive polynomiet ax2+bx+c som et produkt af førstegradspolynomier .
  • Hvis f(x)=ax2+bx+c har to rødder, kan polynomiet omskrives til f(x)=a⋅(x-r1)⋅(x-r2), hvor r1 og r2 er polynomiets rødder.
  • Hvis f(x)=ax2+bx+c har en rod, kan polynomiet omskrives til f(x)=a⋅(x-r)2, hvor r er roden.
Disse omskrivninger kaldes at faktorisere.

Definitionsmængde og værdimængde

Værdimængden for en funktion er alle de y-værdier, som funktionen kan ramme. For et andengradspolynomium afhænger værdimængden af, om a er positiv eller negativ og af toppunktet.
  • Hvis a>0 så er værdimængden: Vm(f)=[yT,∞)
  • Hvis a<0 så er værdimængden: Vm(f)=(-∞,yT]

Monotoniforhold

Monotoniforhold fortæller, hvornår en funktion er voksende, og hvornår den er aftagende. Når man taler om monotoni, fokuserer man på, hvilke x-værdier der giver henholdsvis positiv og negativ hældning. For andengradspolynomier er det i toppunktet at hældningen skifter fortegn.
  • Hvis a>0,så er funktionen aftagende for x≤xT og voksende for x≥xT.
  • Hvis a<0, så er funktionen voksende for x≤xT og aftagende x≥xT

Polynomier af grad 3 eller højere

Polynomier af grad 3 eller højere vil sige polynomier, hvor den højeste potens af x er 3 eller højere. Husk at den højeste potens af x i et polynomium afgør polynomiets grad. Det er godt at have en intuitiv forståelse af, hvordan polynomier ser ud. Et førstegradspolynomium er en ret linje, dvs. uden nogle “vendepunkter”. Et andengradspolynomium har et vendepunkt, og et tredjegradspolynomium har to. Generelt har et n-gradspolynomium op til n-1 vendepunkter.

Definitionsmængde og værdimængde

Definitionsmængden for polynomier består af alle reelle tal, fordi man kan indsætte ethvert reelt tal på x’s plads. Så hvis f(x) er et polynomium, gælder Dm(f)=R. Værdimængden afhænger af, hvilken grad polynomiet har. Ethvert polynomium af ulige grad har alle de reelle tal som værdimængde. Dette skyldes, at den ulige grad betyder, at hvis grafen starter aftagende, så slutter den også aftagende, og omvendt. Derfor vil et polynomium af ulige grad ramme alle y-værdier.
  • Hvis n-ulige har et n-gradspolynomium,f(x), værdimængden: Vm(f)=R.