Indholdsfortegnelse
Hvad handler differentialregning om?
Hvad er kriterierne for om en funktion er differentiable?
Hvad angiver den afledte funktion f'(x)?
Udfyld tabellen
Hvordan differentieres et polynomium?
Funktionsanalyse
Definitionsmænge
Nulpunkter
Fortegnsvariation
Monotoniforhold
Lokale og globale ekstrema
Vendetangentpunkter
Værdimængde
Graf
Hvad er tangentens ligning
De syv beviser
Sætning 1 (Afledet funktion og differentialkvotient)
Sætning 2 (Differentiation af en konstant)
Sætning 3 (Differentiation af den lineære funktion)
Sætning 4 (Differentiation af den simple andengradsfunktion)
Sætning 5 (Differentiation af kvadratrodsfunktionen)
Sætning 6 (Tangentens ligning)
Sætning 7 (Toppunktsformlen)
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Differentialregning handler om at beskrive funktioner. Når man beskriver en funktion i differential- regning, beskriver man ofte en ny form for funktion, som er kaldet den afledte funktion.
Den afledte funktion fortæller om hvor meget den originale funktion enten stiger eller falder. Det vil sige at i alle punkter på den afledte funktion, fortæller den stigningen eller aftagningen i samme punkt på den originale funktion.
Der er mange muligheder for anvendelse af differentialregning, specielt i økonomiske sammenhænge.
Det er meget relevant at benytte differentialregning med matematisk modellering, og forskellige økonomiske fag.
Hvis en virksomhed stiller følgende spørgsmål: ”Hvad sker der med afsætningen af et produkt, hvis vi ændrer prisen?”, kan man anvende differentialregning.
I denne sammenhæng skal man kigge på forholdet mellem pris og afsætning, og for at løse problemet skal der formuleres en funktion, hvor f(x) er afsætningen i stk. og x er prisen.
Den afledte funktion af denne vil så beskrive hvordan afsætningen vil blive ændret, hvis man ændre på prisen.
Hvis man har en original funktion f(x) vil den afledte funktion f'(x), som også er kaldet differentialkvotienten, hedde ”f mærke af x”.
Hvad er kriterierne for om en funktion er differentiable?
Ikke alle funktioner kan differentieres, men dem som man godt kan, kalder man differentiable. Et kriterie for at en funktion er differentiable er at det skal være muligt at indsætte en tangent i alle mulige punkter på grafen af funktionen, for at aflæse hældningen.
Det vil sige at der ikke må være et knæk på funktionen, disse funktioner kaldes en kontinuert funktion.
Derudover må der ikke være et hop på funktionen, hvilket vil sige at man i billedvis beskrivelse skal kunne tegne grafen uden at skulle løfte sin blyant.