Indledning
Emneopgaven skal du bruge til den mundtlige eksamen, hvor du bl.a. skal præsentere emnet. Emneopgaven skal derfor indeholde det, som du vil præsentere til eksamen.
I denne opgave får du opgaver, som sørger for, at du kommer grundigt rundt i emnet og bliver fortrolig med at regne med formlerne.
Det er vigtigt, at du viser, hvilke formler du anvender i hvert enkelt tilfælde, samt forklaringer og mellemregninger i et omfang, som vil hjælpe dig til eksamen.
Din fremlæggelse til eksamen skal vare ca. 10-15 minutter. I skal løse og aflevere opgaven i grupper på 2 personer
Indholdsfortegnelse
I forbindelse med løsning af emneopgaven er det en god idé at kunne svare på nedenstående spørgsmål:
1. Hvad er en funktion - helt overordnet set
2. Hvilke elementer indgår i en funktionsundersøgelse?
a) Hvilke former for ekstrema taler man om i forbindelse med funktionsundersøgelser?
b) Hvad er definitionsmængden og værdimængden for en funktion?
c) Hvad indgår i en fortegnsundersøgelse
d) Hvordan noteres monotoniforholdene for en funktion?
3. Hvad er definitionen på et polynomium?
4. Hvordan afgør man graden af et polynomium?
5. Hvilken sammenhæng er der imellem polynomiets grad og grafens udseende?
6. Hvad fortæller parameteren a_n om grafen for et polynomium?
7. Hvordan læses skæring med y-aksen i polynomiets forskrift?
8. Hvad vil det sige at faktorisere et polynomium?
9. Hvor mange nulpunkter er der højst i et polynomium af n’te grad?
10. Hvad er en dobbeltrod?
På side 2 og 3 er der opgaver, som SKAL løses som en del af denne emneopgave.
Opgave A (skriftlig del)
A1)
Giv et eksempel på polynomium af 0’te grad, 1. grad, 2. grad og 5. grad. Angiv forskriften for et vilkårligt polynomium af grad n.
0. grad
1.grad
2. grad
5. grad
A2) Lineære funktioner
a) Tegn grafen for den lineære funktion, f, som har forskriften: f(x)=4x-8
b) Hvad er hældningen?
c) Hvad er skæringen med y-aksen?
d) Bestem flg. ved grafisk aflæsning:
A3) Andengradsfunktioner
a) Hvad er skæringen med y-aksen?
b) Beregn diskriminanten
c) Beregn toppunktet
d) Beregn nulpunkterne - uden brug af CAS-værktøj
e) Du skal dernæst ved grafisk aflæsning bestemme
A4) Omkring vigtige begreber inden for bestemmelse af rødder/nulpunkter for polynomier og fortegnsundersøgelse.
a) Find rødderne i f(x)=x^3-3x^2-40x , uden brug af CAS-værktøj
b) Hvad betyder det at bestemme fortegnsvariation for en funktion/lave en fortegnsundersøgelse af en funktion?
c) Bestem fortegnsvariation for f(x)=x^3-3x^2-40x
1. beregning af nulpunkter
2. polynomiet undersøges
3. Skitse, der opfylder betingelserne ovenfor, tegnes
4. Fortegnsvariation vises på x-akse, idet nulpunkterne indsættes
d) Løs uligheden x^3-3x^2-40x0
Opgave B (forberedelse til mundtlig del)
a) Bestemmelse af forskriften for lineær funktion ud fra to punkter på grafen.
b) Nulpunktsformlen for andengradspolynomier
c) Toppunktsformlen for andengradspolynomier
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
5. Hvilken sammenhæng er der imellem polynomiets grad og grafens udseende?
a^n er polynomiets grad fortæller hvor mange gange grafen kan svinge
andengrad svinger 1 gang
Tredje grad svinger 2 gange
Fjerde grad svinger op til 3 gange osv.
6. Hvad fortæller parameteren a_n om grafen for et polynomium?
Henvises til opgave A1
7. Hvordan læses skæring med y-aksen i polynomiets forskrift?
Det sidste led der står i polynomiets forskriften, fortæller hvor henne grafen skærer i y-aksen
8. Hvad vil det sige at faktorisere et polynomium?
Når man faktorisere et polynomium, laver man en funktion der består af 3 faktorer i stedet for 3 led. Dvs. at vores almindelige formel: f(x)=a∙x^2+b∙x+c også kan skrives sådan: f(x)=a∙(x-r_1 )∙(x-r_2 )
9. Hvor mange nulpunkter er der højst i et polynomium af n’te grad?
Et n'te gradspolynomium har højst n rødder
10. Hvad er en dobbeltrod?
En dobbeltrod betyder at den kun skærer x-aksen en enkelt gang.
Billedet viser en dobbeltrod
---
b) Hvad er hældningen?
Hældningen er 4. Det kan læses ud fra forskriften ”4x” og ses på koordinatsystemet at når man går 1 til højre går den 4 op.
c) Hvad er skæringen med y-aksen?
Skæringen i y-aksen er (0,-8). Det kan både ses på grafen, men det er også det sidste led i forskriften der fortæller, hvor den skærer i y-aksen.
d) Bestem flg. ved grafisk aflæsning:
Dm(f) → Dm(f)= ]-∞;∞[
Nulpunkt for f → f(x)=0⟹x=2