Integralregning | Noter Matematik

Indledning
I denne opgave vil jeg gennemgå emnet integralregning. Opgaven vil jeg gribe an således, at jeg vil gennemgå en lang række teori for emnet, samtidig med at jeg kommer med eksempler på brugen af denne.

Jeg vil så ført gennemgå emnet ubestemte integraler og dernæst bestemte integraler. I lighed med opgaveformuleringen vil jeg således undervejs komme omkring emnet stamfunktioner

jeg vil se på emnet numerisk integration og jeg vil også komme omkring arealbestemmelse. Desuden vil jeg undervejs løse de i opgaveformuleringen givne opgaver. En stor del af opgaverne vil dog blot indgå som en del af teorien.

Indholdsfortegnelse
Indledning 2
Ubestemte integraler - Stamfunktioner 2
Regneregel 1 - Integration af sum og differens 3
- Bevis 1 3
Regneregel 2 - Integration ved multiplikation med en konstant 3
- Bevis 2 4
Regneregel 3 - Partiel Integration 4
- Bevis 3 4
Regneregel 4 - Integration ved substitution 4
Bestemmelse af konstanten c 5
Bestemte integraler 5
Regel 1 - Integration af sum og differens 6
- Bevis 4 6
Regel 2 - Integration ved multiplikation med en konstant 7
- Bevis 5 7
Regel 3 - Indskudssætningen/Indskudsreglen 7
Regel 4 - Substitution i bestemte integraler 8
Regel 5 - Partiel integration 8
Arealberegninger

Uddrag
En stamfunktion, også benævnt som det ubestemte integral, kan defineres som funktionen F(x) integreret af funktionen f(x).

I forbindelse hermed, er det vigtigt at have styr på differentiation, hvilket vi tidligere har defineret som det at finde f’(x) af f(x).

Integration er nemlig det omvendte af differentiation. Når vi ved dette, ved vi også, at vi kan tjekke om en stamfunktion er korrekt

ved at differentiere stamfunktionen, og herefter skulle vi så gerne nå frem til den oprindelige funktion. Altså F’(x) = f(x).

Dette kaldes for integrationsprøven. Som yderligere notits kan det nævnes, at stamfunktioner benævnes med store bogstaver. Vi kan illustrere alt dette således:

Da en funktion kan have flere stamfunktioner, tilføjes en konstant til en stamfunktion F. Derved kan vi definere alle stamfunktioner til f som: ∫f(x)dx=F(x)+c∫fxdx=Fx+c

---

Regneregel 1 - Integration af sum og differens
For integration af sum og differens, dvs. henholdsvis at lægge stamfunktioner sammen samt at trække dem fra hinanden, gælder følgende:

∫(f (x)+g(x))dx= ∫f(x)dx+∫g(x)dx
∫(f (x)-g(x))dx= ∫f(x)dx-∫g(x)dx

Bevis 1
Vi kan bevise den første af de to ovenstående regler ved, at hvis vi differentierer alt det der står på højre side

så skulle det gerne give f(x) + g(x):
(∫(f(x)dx±∫g(x))dx)^'=f(x)±g(x)

Til at gøre dette skal vi benytte reglen for at tage mærke af to funktioner lagt sammen, der lød (f + g)' = f' + g'

altså kan vi gøre følgende:
(∫f(x)dx)^'±(∫g(x)dx)'

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned
  • Adgang nu og her
  • 20 Downloads
  • Ingen binding
  • Let at opsige
  • Adgang til rabatter
  • Læs fordelene her
Få adgang nu