Indledning
En funktion i matematik er en regel, der til hvert x knytter sig nøjagtigt til et y. En funktion kan også forstås som en maskine, hvor man kommer et x ind og så spytter den et y ud på den anden side.
En funktion beskriver en sammenhæng mellem de to variable, nemlig x og y. x er den afhængige variabel, fordi man kan selv bestemme hvilket x der kommer ind i maskinen.
Vi kan derimod ikke bestemme over y, da den er en afhængig variabel. Det vil sige at y afhænger af x og hvilken værdi x har.
Alt i alt afhænger y af hvilket x der kommer ind i maskinen, eller at y er en funktion af x. Dette kan skrives kort som y=f(x) og er definitionen af funktionsbegrebet.
Indholdsfortegnelse
1. Indledning
2. Forskellige funktioner
- Lineær funktion:
- Hvad betyder a og b?
- Invertibel funktion:
- Polynomier:
- Andengradspolynomium:
- Tredjegradspolynomium:
- Fjerdegradspolynomium:
- Eksponentielle funktioner:
- Sammensatte funktioner:
3. Funktionsanalyse
- Tegn grafen for f:
- Definitionsmængde for f:
- Nulpunkter for f:
- Fortegnsvariation:
- Monotoniforhold:
- Lokale og globale ekstrema:
- Vendetangent:
- Værdimængden for f:
- Grafen for f:
4. Ligningsløsning
- Førstegradsligning:
- Andengradsligning:
5. I økonomisk sammenhæng
- Ordliste:
- Funktionsudtryk for omsætningen:
- Afsætningens interval:
- Størst mulige dækningsbidrag:
- Den optimale salgspris:
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Eksponentielle funktioner:
Man snakker om eksponentielle funktioner, når funktionen vokser/aftager med en fast procent pr. tidsenhed, så er der tale om en eksponentiel udvikling.
Et godt eksempel på en eksponentiel udvikling kunne være en slags bakterie der fordobles, altså den stiger med 100% hver time. Hvis man starter med at have 3 bakterier, vil man efter en time have:
3*2=6
6 bakterier.
Efter 2 timer vil der være:
6*2=12
12 bakterier.
Efter 3 timer vil der være:
12*2=24
Idet at funktionen her er en eksponentiel funktion, og at den vokser med lige meget hver time, er det muligt at omskrive tallene:
6=3*2^1
12=3*2^2
24=3*2^3
---
Definitionsmængde for f:
Dm(f) = R, hvilket betyder at alle må sættes ind i funktionen.
Nulpunkter for f:
Der skal findes nulpunkter for en tredjegradsfunktion, hvilket betyder, at der mindst er en løsning, eftersom at en tredjegradsfunktion mindst har et nulpunkt.
Først findes funktionens x-koordinater, som gøres ved at løse ligningen f(x)=0.
f(x)= -x^3 - 5x^2 + 3x = 0
Nu faktoriseres f ved at sætte x uden for parentes:
-x^3 -5x^2+3x = x(-x^2-5x+3)=0
Her bruges nulreglen:
x(-x^2 - 5x + 3) = 0
Det betyder:
x=0 ∪ -x^2-5x+3=0
Dermed har vi fundet det første nulpunkt: x = 0
Herefter regnes de resterende 2, men først skal diskrimination udregnes:
d = b^2 - 4*a*c
a = -1,b = -5,c = 3
Tallene sættes ind i formlen:
d = 25 - 4*(-1)*3=37
Skriv et svar