Indholdsfortegnelse
Opgaven
1) Med udgangspunkt i en eksponentialfunktion f, hvor f er givet ved , ønskes nedenstående punkter behandlet:

a) Gør rede for betydningen af konstanterne a og b, og omtaler ligeledes de krav, der stilles til a og b. Vis eksempler på grafer af to eksponentielle funktioner – en voksende funktion og en aftagende funktion – som illustrerer betydningen af a og b. Vis herunder støttepunkt tabellerne, samt et par tilhørende mellemregninger til hver af de to grafer.

- Aftagende funktion:

b) Gør rede for definitionsmængde, værdimængde og monotoniforhold.

c) Hvad forstås ved vækstraten r, og hvordan er dens sammenhæng med a? (vis eksempler)

d) Hvad forstås ved fordoblingskonstanten og ved halveringskonstanten? – og hvordan kan det bestemmes? (vis eksempler og bevis formlerne)

2) I hvilke praktiske og virksomhedsøkonomiske sammenhænge kan man møde eksponentielle udviklinger? Vis eksempler.

3) Gør rede for formlerne og metoden, som anvendes til bestemmelse af regne- forskriften for en eksponentialfunktion , når man kender to punkter på grafen (x1, y1) og (x2, y2). Giv et par eksempler. Forklar desuden, hvordan du kan kontrollere denne regneforskrift vha. TI-NSpire. I skal desuden bevise formlerne, som anvendes her.

- Svar: formel for b:
- Eksempel:
- Konklusion:

4) Gør rede for og hvis eksempler med grafisk og beregningsmetode, samt anvendelse af de elektroniske hjælpemidler, som kan anvendes i forbindelse med løsning af eksponentielle ligninger.

5) Opgave:
I forbindelse med et kommende ophold i de norske fjelde har Hareskov købt en ny termokande af type Thermo-ultra. Han vil gerne teste termokandens evne til at holde kaffe/chokolade varm, og han har derfor lavet følgende forsøg: kogende vand (100 grader Celcius) hældes på termokanden, og temperaturen aflæses derefter. Termokanden er under hele forsøget placeret i et køleskab, hvor temperaturen er 5 grader Celcius. Hareskov fandt følgende resultater:

b) Gør rede for, hvorfor udviklingen i temperaturen tilnærmelsesvis kan beskrives ved en eksponentiel aftagende model , hvor x angiver antal timer efter påfyldningen, og bestem denne model.

c) Forklar betydningen af værdien for a og b i denne model, beregn herunder det procentvise fald i vandets temperatur pr. time.

d) Bestem halveringskonstanten og forklar, hvad den viser.

e) Bestem, ved aflæsning og ved beregning, vandets temperatur efter 14 timer og efter 24 timer.

f) Hvor lang tid skal der gå, før vandets temperatur er faldet til 60 grader?

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
Opgaven
1) Med udgangspunkt i en eksponentialfunktion f, hvor f er givet ved , ønskes nedenstående punkter behandlet:

a) Gør rede for betydningen af konstanterne a og b, og omtaler ligeledes de krav, der stilles til a og b. Vis eksempler på grafer af to eksponentielle funktioner – en voksende funktion og en aftagende funktion

– som illustrerer betydningen af a og b. Vis herunder støttepunkt tabellerne, samt et par tilhørende mellemregninger til hver af de to grafer.

a og b kaldes konstanter eller koefficienter for en eksponentialfunktion.
b kaldes for begyndelsesværdi eller startværdi

a kaldes for grundtallet
a og b kan være alle positive reelle tal, dvs at a og b er større end 0.
a må ikke være lig med 1, dvs a≠1. Hvis a er lig med 1 er der tale om en
lineærfunktion, fordi :

---

Gør rede for definitionsmængde, værdimængde og monotoniforhold.
Definitionsmængden angiver værdien af x, som sættes ind på x's plads i forskriften.

I et koordinatsystem sættes de tal som tilhøre definitionsmængden ud ad x-aksen. Definitionsmængden betegnes Dm(f).

Værdimængden angiver værdien af y, som sættes ind på y's plads i forskriften.
I et koordinatsystem sættes de tal som tilhøre værdimængden ud ad y-aksen. Værdimængden betegnes Vm(f).

Ved at bestemme en funktions monotoniforhold finder man hvilke intervaller funktionen enten stiger, falder eller er konstant. Det giver også en ide om hvordan funktionen ser ud.

Dvs. Hvis a>1 (r>0) krummer grafen opad, så derfor er det en voksende eksponentialfunktion.
Hvis 0<a<1 (-1<r<0) krummer grafen nedad, så derfor er eksponentialfunktionen aftagende

c) Hvad forstås ved vækstraten r, og hvordan er dens sammenhæng med a? (vis eksempler)

Vækstraten betegnes som r. Vækstraten viser hvor stor tilvæksten er, det kan angives i relativ tilvækst eller procentvis.

Hvis man gerne vil beregne vækstraten og man kender grundtallet (a) og kan man bruge følgende formel: r=a-1, for at finde vækstraten.

Man bruger ofte vækstrate i en økonomisk forstand for den årlige procentvise stigning i enten indkomst, omsætning eller produktion. Jeg har herunder lavet et eksempel på hvordan vækstraten kan anvendes.