Alt godt fra matematik | Noter i matematik | Over 81 sider

Indholdsfortegnelse
1.Lineær tilvækst
- Beviset for a

2. Eksponentiel vækst
- Vækstraten r
- Forskriften og betydning af a og b
- Find b
- Fordoblingskonstant
- Bevis
- Halveringskonstant

3. Potentiel vækst
4. Andengradspolynomier
- Betydning af konstanter a, b og c:
- Løsning
- Sætning 2.1
- Bevis
- d negativ
- d=0
- d positiv

5. Differentialregning
- Definition
- Regne regler:
- Regne regler:
- Sætning
- Bevis

1.trin. Funktionstilvæksten er
2.trin. Differenskvotienten udregnes
3.trin. Vi skal undersøge, om differenskvotienten har en grænseværdi når h går mod 0
- Sætning 4
- Bevis

6. Differentialregning
- Definition
- Tretrinsreglen
- Monotoniforhold

7.Integralregning
- Definition af integralregning:
- Stamfunktion:
- Ubestemt & bestemt Integral
- Regneregler for ubestemte integraler
- Bestemte integraler:
- Sætning
- Bevis
- Regneregler
- Bevis

8.Integralregning
- Definition af integralregning:
- Stamfunktion:
- Bevis for sætning for arealbestemmelse:
- Visualisering af det bestemte integral, samt integralkommandoens oprindelse:
- Definitionen på det bestemte integral:
- Sætning
- Bevis

9. Integralregning
- Definition
- Rumfang
- Sætning:
- Bevis:
- Kegles rumfang
- Kuglens rumfang

10. Differentialligninger
- Definition
- Skrivemåde:
- Eksponentielle vækst
- Sætning 1 :
- Bevis
- Sætning2.:
- Bevis:

11.Differentialligninger
- Definition
- Differentialligningsmodeller:

12.Vektorer og analystisk geometri
- Længde af vektor
- Addition og subtraktion af vektorer
- Multiplikation
- Skalarprodukt (prikprodukt)
- Regneregler
- Bevis :
- Determinanten
- Projektion af vektor på vektor
- Sætning
- Bevis

13.Vektorer og analytisk geometri
- Lineær funktion
- Sætning
- Bevis

Parameterfremstilling for ret linje i rummet
- Afstand fra punkt til linje
- Sætning
- Bevis

14. Vektorer og analytisk geometri
- Sætning
- Bevis
- Tilfælde 1
- Tilfælde 2
- Cirklens ligning
- Sætning
- Cirkeltangent
- Eksempel 4.14
- 1. metode.
- Eksempel 4.15
- Eksempel 4.16

15.Vektorer og analystisk geometri
- Skalarprodukt (prikprodukt)
- Regneregler
- Bevis :
- Vinklen mellem to vektorer
- Bevis vinkel mellem to vektorer
- Skalarprodukt i rumgeometri
- Vinkel mellem to vektorer i rummet

16.Vektorer og analystisk geometri
- Krydsproduktet
- Definition
- Bevis:

17.Vektorer og analytisk geometri
- Planens ligning
- Sætning
- Afstand mellem punkt og plan
- Sætning
- Bevis
- Afstand mellem punkt og linje
- Sætning
- Bevis

18.Vektorer og analytisk geometri
- Afstandsformlen
- Kuglens ligning
- Tangentplan

19.Sinusrelationerne
- Krav:
- Cosinusrelationerne
- Dobbelttydige tilfalde:

20.Cosinusrelationerne
- Cosinusrelationerne
- sinusrelationerne :
- Dobbelttydige tilfalde:
- Enhedscirklen

21.Statistik
- Der er 2 typer af observationssæt
- Eksempel :
- Nedre kvartil :
- Øvre kvartil :
- Fraktil :
- Boksplot:
- Middeltallet :
- Varians.
- Spredningen (standardafvigelse).
- Ekstra:

Uddrag
• Lineær vækst er en form for vækst, der kan kendes ved at væksten foregår med en bestemt størrelse hele tiden.

• Det kendetegner lineær vækst at en fast absolut tilvækst af x giver en fast (men anden) absolut tilvækst af f(x).

• Man kalder denne type vækst lineær, fordi den giver en ret linie på en koordinatsystem.
Forskrift: y=ax+b

a - hældningskoefficient
b - Linjens skæringspunkt med y-aksen, kaldes også begyndelsesværdig fordi - f( 0)=a.0+b=b

Hvis a>0 er linjen voksende
Hvis a<0 er linjen aftagende
Hvis a=0 er linjen konstant

---

5. Differentialregning
Definition

Differentialregning handler om funktioners væksthastighed. Altså, at finde hældningen af tangenten i et givet punkt.

Der befinder sig et punkt med koordinatet (x0 , f(x0)) på en graf. For at finde hældningen på tangenten (ret linje) i dette punkt, bør man kende to punkter på grafen.

Dermed tegnes en ny linje, som går gennem to punkter på grafen. Denne linje kaldes for sekant. Dette nye punkt har koordinatet (x0+h , f(x0+h)).

h er afstanden mellem de to førstekoordinater og de to andenkoordinater. Afstanden mellem førstekoordinaterne kaldes også for ∆x.

Dermed kaldes afstanden mellem de to andenkoordinater også for funktionstilvæksten og ∆f(x0). Sekantens hældning, som også kaldes differenskvotienten beregnes ved asekant =(Δf(x0))/h=(f(x0+h)- f(x0))/h.

Sekantens hældning vil ændre sig, når ∆x (altså h) bliver mindre og mindre og går mod 0.

Sekantens hældning kommer tættere og tættere på tangentens hældning vil i sidste ende komme uendeligt tæt på tangentens hældning, når ∆x bliver uendelig lille.

Tangentens hældning kaldes også for f’(x0) og differentialkvotienten. Tangentens hældning er det samme som grænseværdien af sekantens hældning.

Altså når ∆x  0 vil afstanden mellem sekantens og tangentens hældning blive uendelig lille. Altså når ∆x går mod 0 vil tangentens hældning beregnes ved lim┬(∆x→0)⁡((f(x0+h)- f(x0))/h). Ordet ’limes’ kommer fra latin og betyder grænse.

Hvis grænseværdien f’(x0) eksisterer, kaldes funk. differentiabel i x0. Hvis funk. er differentiabel i alle punkter i definitionsmængden, kaldes f for en differentiabel funktion; altså skal grafen være kontinuert (sammenhængende) og glat (uden knæk).

Regne regler:
(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)
(f(x) – g(x))’ = f’(x) – g’(x)
(k ˑ f(x))’ = k ˑ f’(x) k er en konstant

Bevis
Når man skal differentiere en funktion, der fremkommer som sum af to funktioner, differentierer man hvert led for sig.

Sætning
Hvis f og g er differentiable i x0, er også summen f+g differentiabel i x0 og dens differentialkvotient er

---

8.Integralregning
Definition af integralregning:
Stamfunktion:

Definitionen af stamfunktion er følgende:
Funktionen F kaldes en stamfunktion til funktionen f, hvis F’(x) = f(x).

Dvs. at stamfunktionen til f vil være F, hvis en differentiering af F vil give f. Altså gælder det, om at finde en stamfunktion, det modsatte af at finde differentialkvotienten.

Til en normal funktion f(x) tilhører en differentieret funktion, som kaldes f’(x). Denne funktion findes ved at differentiere f(x). Nu skal der findes en til f(x).

Når man integrerer en potensfunktion, som sker ofte, gælder det nemlig at; x^a=1/(1+a)∙x^(1+a). Her er det det modsatte af at finde f’(x).

Vi vil se på en kontinuert ikke-negativ funktion f i intervallet [a;b]. Hvis x er et tal mellem a og b indfører vi arealfunktionen A ved:

A(x)= arealet af området mellem grafen for f og x-aksen i intervallet [a;x]. A=F(b)-F(a), hvor F er stamfunktion til en funktion f.

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned Få adgang nu