Indholdsfortegnelse
Del 1:
Gør med egne ord, rede for begrebet differentialkvotient og hvad en funktions differentialkvotient benyttes til.
Gør rede for tretrins-reglen
1. Udvælgelse af 2 punkter på funktionen f find ∆y:
2. Opstille et udtryk for sekantens hældning også kaldet differenskvotienten: (a_s) a_s=∆y/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/∆x
3. Bestem tangentens hældning (a_t) ved at man får ∆x til at gå mod 0 (∆x→0)
Benyt 3-trinsreglen til at udlede differentialkvotienten til nedenstående funktioner.
f(x)=ax+b
1. Udvælgelse af 2 punkter på funktionen f:
2. Opstille et udtryk for sekantens hældning
3. Bestem tangentens hældning
f(x)=ax^2+bx+c
1. Udvælgelse af 2 punkter på funktionen f og find ∆y:
2. Opstille et udtryk for sekantens hældning
3. Bestem tangentens hældning
Del 2:
En fuldstændig funktionsanalyse indeholder bl.a. 3 fortegnsundersøgelser – af henholdsvis, f(x), f'(x) og f''(x).
Benyt din viden om differentialkvotienter til at udlede formlen for toppunktet i et 2. gradspolynomium m: (x;y)=(-b/2a; -d/4a).
Gennemfør et bevis for nulpunktsformlen i et 2. gradspolynomium: x=(-b±√d)/2a
Visse funktioner har vendetangent(er). Forklar betydningen heraf og beskriv, hvilke elementer en redegørelse for, om en funktion har vendetangent, indeholder.
Forklar, hvordan ligningen for en vendetangent, kan bestemmes.
Beskriv, hvilke andre punkter, en fuldstændig funktionsanalyse kan bestå af og forklar, hvilke oplysninger om en funktions forløb, vi opnår herved.
Del 3:
Gennemfør en fuldstændig funktionsundersøgelse af funktionen f med følgende forskrift:
- Definitionsmængde:
- Nulpunkt:
- Ekstremer:
- Værdimængde:
- Vendetangenter
- Monotoniforhold:
- Bestem ligningen for tangenten i røringspunktet (1;f(1))=(1;-12).
- Bestem ligningen for de tangenter til f, der har hældningen -9.
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Differentialregning er med til at bestemme en funktions vækst og hvor meget den vokser på forskellige steder af funktionen, den er altså funktionstilvæksten divideret med ∆x.
Differentialkvotienten er den afledte funktion f^' (x) af f(x). Formålet ved differentialkvotienten er at få sekanten til at blive så lille som mulig så den kan komme så tæt som muligt på tangenten.
---
Gør udførligt rede for, hvilke oplysninger om en funktions forløb vi opnår, ved hjælp af de 3 fortegnsundersøgelser. Redegørelsen skal komme ind på, hvilken sammenhæng der er mellem henholdsvis f(x) og f'(x) samt f(x) og f''(x).
f(x)
Er den oprindelige funktion
f^' (x)
Har nulpunkt der hvor f(x) har ekstrema
f^'' (x)
Har nulpunkt hvor f(x) har vendepunkt
Benyt din viden om differentialkvotienter til at udlede formlen for toppunktet i et 2. gradspolynomium m: (x;y)=(-b/2a; -d/4a).
For at finde toppunktet i et 2. gradpolynomium skal du bruge f, f^' og diskriminaten
d=b^2-4ac
f(x)=ax^2+bx+c
f^' (x)=2ax+b
Vi sætter f^' (x)= 0 for at finde det x der gør f^' (x)= 0
0=2ax+b
Man trækker b fra på begge sider
-b=2ax
Man dividerer med tallet foran x
x=-b/2a
Skriv et svar