Differentialkvotient | Opgave

Indledning
“Et kært barn har mange navne” Dette er også tilfældet hos f’ (x) som kan læses som både “f mærke”, “Den første afledte af f” eller “Differentialkvotienten af f” Alle betegnelserne/navne betyder det samme.

Når man skal foretage os en funktionsanalyse, er der nogle overordnede punkter man skal gennemgå Vi vil som udgangspunkt for en standard funktionsanalyse gerne komme ind på følgende punkter:

- Definitionsmængden for f
- Nulpunkter for f
- Fortegnsvariation for f
- Monotoniforhold for f
- Lokale og globale ekstrema for f
- Krumningsforhold og Vendetangent for f
- Værdimængden for f
- Grafen for f

Indholdsfortegnelse
Indledning 3
Differentialregning - Hvad er det? 3
Definitionsmængden for f 4
Nulpunkter for f 5
Monotoniforhold for f 6
Lokale og globale ekstrema for f 7
Fortegnsvariation for f 8
Værdimængde 9
Krumningsforhold og Vendetangent for f 10
Grafen for f 11
Funktionsanalyse: 12

Uddrag
Differentialregning - Hvad er det?
Differentialregning benyttes i mange forskellige anledninger.

Vi benytter differentialregning til bl.a. at bestemme monotoniforhold og ekstrema for en funktion. Hvilket særligt er relevant når vi har med en funktionsanalyse at gøre.

For en funktion f definerer vi differentialkvotienten f ´. Læses og udtales som ( f mærke). Vi har overordnet 3 regneregler vi benytter os af når vi differentere.

Når der skal differentieres et led, så er det vigtigt at huske, at der generelt gælder, at x opløftet i et tal n (dvs. xn). Her skal vi altså tage udgangspunkt i n som altid vil være det højest opløftede tal

Et eksempel på differentialregning, kunne vi tage udgangspunkt i funktionen f(x)=4x^3-2x^2+6x-7

Når vi skal differentiere denne funktion bruger vi 1 af de 3 ovenstående metoder til, hvert enkelt led i funktionen.

Ved første led altså (4x^3), skal 3 metode bruges.
Ved andet led altså (-2x^2) skal 3 metode bruges.
Ved tredje led altså (6x) skal 2 metode bruges.
Ved fjerde led altså (-7) skal 1 metode bruges.
Efter vi har differentieret vil vores f’(x) altså se således ud:
f’(x)=12x^2-4x+6

Definitionsmængden for f
Definitionsmængden for f er det antal af mulige x-værdier der indgår i grafen. Vi skriver definitionsmængden som Dm(f).

Hvis den første og sidste interval klap begge er åben, altså vi for ikke noget at vide om hvorvidt f har et start punkt eller slut punkt, så er Dm(f)=R. Alle reelle tal betegner vi som R.

Lad os antage at vi fik stillet en funktion hvor det ikke ville give mening at x=0.

f.eks. f(x) =1/x

Vi må aldrig nogensinde dividere med 0. derfor vil vores definitionsmængde se således ud: dm(x)=R\(0)

Den omvendte skråstreg betyder (undtagen) det betyder altså at definitionsmængden er alle reelle tal undtagen hvad der skulle komme efter det omvendte skråstreg som i dette tilfælde er 0.

Lad os antage vi har et graf der starter i et punkt og derefter fortsætter i uendelighed, altså den stopper ikke. Vi antager at funktionen starter i punktet (2,1) og derefter fortsætter uendeligt.

Altså Dm(f)=[2;∞[

Hvis for at vide at funtions starter i et punkt og slutter i et andet. f.eks. starter funktionen i punktet (-2,1) og slutter i (3,4)
Altså Dm(f)=[-2;3]

Nulpunkter for f
Når der findes nulpunkter for f benyttes det ofte i takt med monotoniforhold.

Dette ses på baggrund af at når funktionen har et nulpunkt vil grafen enten have maksimumspunkter, minimumspunkter eller vendetangent punkter. grafen for f’(x) vil have vandret tangent i sine nulpunkter.

For at man kan finde nulpunkter for et polynomium af højere grad skal vi først og fremmest finde f’(x) (Løses som nævnt i ovenstående eksempel). Når vi har fundet fundet f’(x) skal vi sætte f’(x)=0 for at finde ud af hvornår funktionen er =0.

Imellem punkterne for f’(x0)= 0 vil tangenthældningen enten være positiv på hele intervallet eller modsat negativ. Hvis tangenthældningen skal skifte mellem at være positiv eller negativ vil funktionen altså være nødsaget til at passere 0.

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned Få adgang nu