Monotoniforhold og ekstrema | Emneopgave | 12 i karakter

Indholdsfortegnelse
Opgave 1 - Monotoniforhold og ekstrema:
1. Forklar hvad monotoniforhold er og hvordan man bestemmer det.
2. Hvilke ting skal man gennemgå i en standard funktionsanalyse?
3. Lad f(x) = 2x3 + 3x2 − 72x + 10. Bestem monotoniforholdene og ekstrema for f(x) ved hjælp af differentialregning. Husk at argumentere om ekstrema er lokale/globale maksimum/minimum.
4. Lav en funktionsanalyse af funktionen f(x) = 8x + 5 − ex. (Husk alle punkterne).

Opgave 2 - Optimering:
En virksomhed har en maksimal daglig produktionskapacitet på 130 stk., og deres omsætningsfunktion R(x) er givet ved
9. Opstil en forskrift for prisen p(x).
10. Opstil en forskrift for overskuddet O(x).
11. Indtegn graferne for C(x), R(x) og O(x) i samme koordinatsystem.
12. Bestem det maksimale overskud.
13. Bestem den optimale pris.

Opgave 3 - ligning for en tangent:
14. Gennemfør beviset for tangentens ligning y = f′(x)(x - x0) + f(x0), for et tilfældigt punkt (x0, f(x0)).
(Husk at bruge egne ord og forklaringer).
11. Lad f(x)=1/3 x^3-2x^2+3x-5. Beregn tangentens ligning i punktet (0, f(0)) uden brug af CAS-værktøj.
12. Lad f(x)=1/3 x^3-3x^2-x+7. Beregn tangentens ligning i de punkter hvor tangentens hældning a = 1, uden brug af CAS-værktøj.
13. Lad f(x)=-4e^x+8. Beregn tangentens ligning i punktet (0, f(0)).

Uddrag
Monotoniforhold viser i hvilke intervaller en graf er voksende og i hvilke den er aftagende i forhold til x-aksen.

Ved hjælp af differentialregning kan man bestemme monotoniforhold. Vi ved at f(x) er voksende når f^' (x)≥0. Samtidig med at når f(x) er aftagende når f^' (x)≤0.

---

Først differentiere man følgende funktion, hvor vi skal finde f'(x)
Hermed har jeg differentieret funktionen til f'(x)
Herefter laver jeg en fortegnsundersøgelse af f^' (x)=6x^2+6x-72x

Starter med at finde nulpunkterne med nulpunktsformlen:
For at kunne bruge nulpunktsformlen skal vi først beregne diskriminanten

Indsætter oplysningerne i diskriminantformlen:
Herefter indsættes tallene i nulpunktsformlen
Dvs. nulpunkter er x=-4 og x=3

Nu vælger vi nogle x-værdier som omgiver nulpunkterne x =-6, x =2 og x =5 som indsættes i et sildeben.
Indsætter x-værdierne i min differentierede funktion

Hermed har vi regnet os frem til at vores monotoniforhold ser ud som følgende:
Her kan vi nu kontrollere i grafen jeg har lavet i Geogebra at vores beregninger passer.
Ved hjælp at værktøjet ”ekstrema” har Geogebra fundet punkterne.

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned
  • Adgang nu og her
  • 20 Downloads
  • Ingen binding
  • Let at opsige
  • Adgang til rabatter
  • Læs fordelene her
Få adgang nu