Indholdsfortegnelse
Opgave 1 - Monotoniforhold og ekstrema:
1. Forklar hvad monotoniforhold er og hvordan man bestemmer det.
2. Hvilke ting skal man gennemgå i en standard funktionsanalyse?
3. Lad f(x) = 2x3 + 3x2 − 72x + 10. Bestem monotoniforholdene og ekstrema for f(x) ved hjælp af differentialregning. Husk at argumentere om ekstrema er lokale/globale maksimum/minimum.
4. Lav en funktionsanalyse af funktionen f(x) = 8x + 5 − ex. (Husk alle punkterne).
Opgave 2 - Optimering:
En virksomhed har en maksimal daglig produktionskapacitet på 130 stk., og deres omsætningsfunktion R(x) er givet ved
9. Opstil en forskrift for prisen p(x).
10. Opstil en forskrift for overskuddet O(x).
11. Indtegn graferne for C(x), R(x) og O(x) i samme koordinatsystem.
12. Bestem det maksimale overskud.
13. Bestem den optimale pris.
Opgave 3 - ligning for en tangent:
14. Gennemfør beviset for tangentens ligning y = f′(x)(x - x0) + f(x0), for et tilfældigt punkt (x0, f(x0)).
(Husk at bruge egne ord og forklaringer).
11. Lad f(x)=1/3 x^3-2x^2+3x-5. Beregn tangentens ligning i punktet (0, f(0)) uden brug af CAS-værktøj.
12. Lad f(x)=1/3 x^3-3x^2-x+7. Beregn tangentens ligning i de punkter hvor tangentens hældning a = 1, uden brug af CAS-værktøj.
13. Lad f(x)=-4e^x+8. Beregn tangentens ligning i punktet (0, f(0)).
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Monotoniforhold viser i hvilke intervaller en graf er voksende og i hvilke den er aftagende i forhold til x-aksen.
Ved hjælp af differentialregning kan man bestemme monotoniforhold. Vi ved at f(x) er voksende når f^' (x)≥0. Samtidig med at når f(x) er aftagende når f^' (x)≤0.
---
Først differentiere man følgende funktion, hvor vi skal finde f'(x)
Hermed har jeg differentieret funktionen til f'(x)
Herefter laver jeg en fortegnsundersøgelse af f^' (x)=6x^2+6x-72x
Starter med at finde nulpunkterne med nulpunktsformlen:
For at kunne bruge nulpunktsformlen skal vi først beregne diskriminanten
Indsætter oplysningerne i diskriminantformlen:
Herefter indsættes tallene i nulpunktsformlen
Dvs. nulpunkter er x=-4 og x=3
Nu vælger vi nogle x-værdier som omgiver nulpunkterne x =-6, x =2 og x =5 som indsættes i et sildeben.
Indsætter x-værdierne i min differentierede funktion
Hermed har vi regnet os frem til at vores monotoniforhold ser ud som følgende:
Her kan vi nu kontrollere i grafen jeg har lavet i Geogebra at vores beregninger passer.
Ved hjælp at værktøjet ”ekstrema” har Geogebra fundet punkterne.
---
For en ret linje bruges denne formel:
Her ser vi at vi på venstre side af lighedstegnet, ganger vi a med nævneren som er x-x0 bytter rundt på venstre- og højresiden
Lægger herefter til på begge sider
Her erstatter jeg a med f(x0) som er tangentens hældning - det kan jeg gøre fordi vi taler om ligning for en tangent.
Da vi her også ved at svare til det samme som f(x0)
Dermed har vi fået udledt formlen for tangentens ligning
Skriv et svar