Indholdsfortegnelse
4.2 - 4.3 Monotoniforhold og ekstrema 2
Eksempel 1, 3. gradspolynomium 2
Eksempel 2, 4. gradspolynomium med begrænset definitionsmængde, CAS-værktøj 4
4.4 Vendetangenter 7
Eksempel, hvor punkt med vendetangent bestemmes 8
4.3 Grafisk sammenhæng mellem grafen for f,f' og f'' 11
4.5 Funktionsanalyse 12
4.7 Optimering, anvendelse af funktioner og differentialkvotient, f'(x) 13
a) Bestem en forskrift for overskuddet. 14
b) Bestem hvornår overskuddet er nul. 14
c) Bestem hvornår overskuddet er positivt. 15
d) Bestem hvornår overskuddet er størst muligt og bestem dette største overskud. 16
e) Afmærk svarene på en graf. 17

Optimer dit sprog - Klik her og bliv verdensmester i at skrive opgaver

Uddrag
4.2 - 4.3 Monotoniforhold og ekstrema
Når f^' (x)=0 så har grafen for f(x) en vandret tangent og dermed kan grafen haver et ekstrema, dvs. maksimum eller minimum i punktet (x;f(x)). Det er ikke altid, at en vandret tangent giver et ekstrema.

Når f^' (x)>0 (positiv) så er grafen for f(x) voksende.
Når f^' (x)<0 (negativ) så er grafen for f(x) aftagende.

For at bestemme monotoniforhold og ekstrema skal man gennemføre følgende:
1) Bestem f'(x) Her findes en forskrift for tangentens hældningskoefficient.

2) Løs ligningen f^' (x)=0 Her findes punkter med vandret tangent.

3) Der begrundes enten sprogligt for monotoniforhold eller der beregnes et støttepunkt for f'(x) for hvert interval, der omgiver nulpunkterne. Monotoniforhold konkluderes.
Når f'(x) er positiv er f voksende og når f'(x) er negativ er f aftagende.

4) Ekstrema, x-værdierne ses ud fra monotoniforhold. Her skal man både bruge eventuelle nulpunkter for f'(x) og begrænsninger fra definitionsmængden (se eksempel 2). y-værdierne beregnes ved at sætte x-værdierne ind i den oprindelige funktion f(x).

5) Der konkluderes på ekstrema. Hvis punkterne er med i definitionsmængden, giver den største y-værdi globalt maksimum og den mindste y-værdi giver globalt minimum. De øvrige ekstrema er lokale.

Vær opmærksom på, at for nogle funktioner går grafens y-værdier mod plus eller minus uendelig (±∞), og så er der ikke et globalt ekstrema (se eksempel 1).

---

4.4 Vendetangenter
En funktion f har vendetangenter i de punkter, hvor grafen for f skifter krumning fra konkav (sur) til konveks (glad) eller omvendt.

X : punkter med vendetangent
Punkterne (x;y)=(x;f(x)), hvor funktionen f(x) har vendetangent bestemmes ved at undersøge, hvor f''(x) skifter fortegn. (f''(x) læses ”f dobbelt mærke af x” og betyder, at f(x) skal differentieres 2 gange.)

Punkterne, hvor grafen skifter krumning fra konkav til konveks eller omvendt bestemmes ved at finde nulpunkter og fortegnsvariation for f''(x).

En funktion er voksende, når dens afledte funktion er positiv.
Dvs. f'(x) er voksende når f''(x) er positiv.
Når f''(x) er positiv har grafen for den oprindelige funktion en konveks krumning (glad)

En funktion er aftagende, når dens afledte funktion er negativ.
Dvs. f'(x) er aftagende når f''(x) er negativ.
Når f''(x) er negativ har grafen for den oprindelige funktion en konkav krumning (sur)

Dette illustreres i nedenstående koordinatsystem, hvor grafen for f(x)=x^3-x^2-x+1 indtegnes i Graph.

---

Sproglig begrundelse for vendetangent.
Da f(x) er et 3. gradspolynomium har grafen for f altid en vendetangent.

Begrundelse for vendetangent ved beregning af støttepunkter og krokodillenæb
Da f''(x) kan ændre fortegn ved et nulpunkt så beregnes der et støttepunkt for f''(x) for hvert interval, der omgiver nulpunktet.

x1/3: f^'' (1)=6•1-2=4, positiv, dvs. grafen for f(x) er konveks
Da f^'' (x) skifter fortegn så har f(x) en vendetangent i punktet, hvor x=1/3.