Indholdsfortegnelse
Parallelforskydning af graf
- Bemærkning 1.
- Sætning 1.
- Eksempel 1.
- Sætning 2.
- Bemærkning 2.
- Korollar 1.

Toppunkt for andengradspolynomium
- Sætning 3.
- Sætning 4.

Faktorisering af andengradspolynomium
- Sætning 5.

Andengradspolynomiets repræsentationsformer
Opgaver
Opgave 1
Opgave 2
Opgave 3
Opgave 4
Opgave 5
Opgave 6
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
Opgave 10
Opgave 11
Opgave 12
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20
Opgave 21

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
Der er fire form˚al med disse noter:
• Ud fra graften for en given funktion f at finde forskriften for funktionen g, hvis graf er en parallelforskydning af grafen for f . Forskriften for g vil (naturligvis) hænge nøje sammen med forskriften for f .

• At indse, at alene andengradskoefficienten a har betydning for den geometriske form af grafen for andengradspolynomiet ax2 + bx + c.

• At udlede formlen for toppunktet for et andengradspolynomium vha. forskriften for en paralleforskudt graf.

• At undersøge, hvorn˚ar et andengradspolynomium kan faktoriseres.

Parallelforskydning af graf
Vi deler parallelforskydningen af en graf op i en vandret del og en lodret del.

Dvs. først forskyder vi grafen stykket h vandret mod højre, og derefter forskyder vi grafen stykket k lodret opad (rækkefølgen af disse to operationer spiller selvfølgelig ingen rolle).

Bemærkning 1. En læser, der kender til vektorer, vil have bemærket, at vi dermed i alt parallelforskyder grafen efter vektoren (h, k).1
Vi begynder med den vandrette forskydning.

Betragt en funktion f og et (positivt eller negativt) reelt tal h. Vi paral- lelforskyder grafen for f stykket h vandret mod højre og opn˚ar derved grafen for en funktion, som vi kalder g; se figur 1.

Vi ønsker at bestemme forskriften g(x) udtrykt ved forskriften f (x). At bestemme forskriften for g betyder, at vi for vilk˚arligt x skal bestemme funktionsværdien g(x).

Lad derfor x være vilk˚arlig; se figur 1. Eftersom grafen for g er en vandret forskydning (med stykket h), har vi g(x) = f (x − h).

---

Toppunkt for andengradspolynomium
Betragt igen grafen for andengradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c.

Denne parabel er en parallelforskydning af grafen for ax2 med forskydningsvektor ( −b , −d ) (ifølge sætning 2). Grafen for ax2 er en parabel med punktet (0, 0) 2a 4a

som toppunkt. Da en parabels toppunkt ved en parallelforskydning flyttes til den forskudte parabels toppunkt, kan vi finde toppunktet for andengrads- polynomiet p(x) = ax2 + bx + c som parallelforskydningen af punktet (0, 0). Derfor gælder følgende sætning.

Sætning 3. Lad p(x) = ax2 +bx+c være et vilk˚arligt andengradspolynomium med diskriminant d = b2 4ac. S˚a er grafen for p en parabel med toppunkt givet ved

T = .−b, −d Σ ,
og grafen for p har den lodrette linie x = −b som symmetriakse.