Andengradspolynomier | Matematik Aflevering

Indholdsfortegnelse
Teoretisk del:
1. Hvad er den generelle forskrift for et andengradspolynomium?
2. Hvilken betydning har koefficienterne a, b og c for den grafiske afbildning?
3. Hvilken betydning har diskriminanten d for det grafiske billede af et andengradspolynomium?
4. Bestem toppunkt og nulpunkter for denne parabel og redegør for din metode undervejs:
o f(x) = x2 – 4x + 3, for x ≥ 0
5. Faktoriser det ovenstående polynomium.
6. Beskriv ”nulreglen” og hvordan reglen anvendes i forbindelse med bestemmelse af nulpunkter for et andengradspolynomium på faktoriseret form.
7. Bestem definitionsmængde, værdimængde, fortegnsvariation, ekstrema, monotoniforhold og funktionsværdien for x=3,5 for ovenstående polynomium.

Praktisk del:
8. Optimal pris
Firmaet SetUp sælger en speciel hårvoks SetUp Max. En markedsundersøgelse viser denne sammenhæng mellem salgsantal og stykprisen for dette produkt:
Afsætning (x) 1000 stk. 3000 stk.
Pris pr. stk.(y) 225 kr. 125 kr.
Sammenhængen antages at være lineær.
a. Bestem en forskrift for den lineære funktion p(x), der til en bestemt afsætning knytter en stykpris. Dette er prisfunktionen - også kaldet ”den faldende afsætningskurve”.
b. Bestem en forskrift for omsætningen oms(x) = antal ganget med stykprisen.
c. Forklar betydningen af de to værdier i omkostningsfunktionen.
d. Bestem forskriften for overskuddet ovs(x) = omsætning minus omkostninger.
e. Bestem den afsætning, der giver det størst mulige overskud.
f. Bestem den pris, der hører til det størst mulige overskud (og den optimale afsætning).
9. Prissætning
SetUp har desuden en luksus shampoo i deres produkt program. Salgsprisen (pr. styk) for denne shampoo er bestemt ved p(x)=-0,01x+150, hvor x er antal solgte enheder pr. måned, x≥0. De samlede omkostninger pr. måned ved produktion af denne shampoo er c(x)=18x+20.000.
a) Forklar hvad koefficienterne -0,01 og 150 står for i forskriften p(x)= -0,01x+150.
b) Bestem en forskrift for omsætningen r.
c) Bestem en forskrift for overskuddet h.
d) Bestem den afsætning der giver det største overskud. Og størrelsen af dette overskud.
e) Beregn den afsætning pr. måned, der giver et positivt overskud.
f) Beregn det prisinterval, der giver et positivt overskud.

Uddrag
Teoretisk del:
1. Hvad er den generelle forskrift for et andengradspolynomium?
f(x)=ax^2+bx+c

2. Hvilken betydning har koefficienterne a, b og c for den grafiske afbildning?
a's værdi har betydning for bredde/stejlhed af grafen / hvis a er lig med 0 er der tale om en lineær funktion
b: betydning for toppunktets placering / b-værdien er lig med hældningen af kurven i skæringen med y
c: skæring på y-aksen

3. Hvilken betydning har diskriminanten d for det grafiske billede af et andengradspolynomium?
Diskriminanten fortæller noget om antal nulpunkter:
D<0 = ingen nulpunkter
D=0 = ét nulpunkt
D>0 = to nulpunkter

Bestem toppunkt og nulpunkter for denne parabel og redegør for din metode undervejs:
f(x) = x2 – 4x + 3, for x ≥ 0
Først finder jeg alle værdierne i funktionen:
a: 1
b: -4
c: 3
d: (-4^2-4*1*3) = 4 = to nulpunkter
Så bruger jeg nulpunktsformlen:
(-(-4)±√4)/(2*1) = 3 og 1
Jeg ved nu at de to nulpunkter er på (3;0) og (1;0)
Toppunktet beregnes sådan:
Jeg bruger de samme værdier i funktionen, som jeg fandt tidligere
(-(-4))/(2*1);(-4)/(4*1) = 2;-1
Jeg ved nu at toppunktet befinder sig på (2;-1)

Få adgang til hele opgaven