Indledning
Materialerne i dette projekt indgår for en stor del i grundbogen til A-niveau. Det giver derfor mulighed for, at man på et hold til A-niveau kan afslutte gennemgangen af differentialregningen i 2.g. Omvendt funktion er supplerende stof på både B og A.

Indholdsfortegnelse
1. De elementære funktioner - og alle de andre
2. Sammensat funktion

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
• ex og ln(x) er hinandens omvendte funktioner, så̊ har vi styr på, hvordan vi differentierer den ene og kan vi regnereglen med at differentiere omvendt funktion, har vi også styr på den anden. Det ser vi på i sidste afsnit.

• sin og cos er forbundet med formlen cos(v) sin90v , når det skrives med grader, eller cos(x) sinπ2 x, når det skrives med radianer.

Har vi styr på hvordan vi differentierer sinus, og kan vi regnereglen for sammensat funktion, kan vi også̊ differentiere cosinus.

• Da ex og ln(x) er hinandens omvendte funktioner gælder der, at eln(x) x . Derfor er axa eln(x) ealn(x).

Har vi styr på, hvordan vi differentierer ex, og kan vi regnereglen for sammensat differentiation, så kan vi også̊ differentiere xa

Dvs. byggestenene kan reduceres til: de lineære funktioner, sinus og en af de to ex eller ln(x).

I A-bogen vil vi gå dybere ind i dette og vise, hvordan vi ved hjælp af integralregning kan give helt præcise definitioner af logaritmefunktioner, eksponentialfunktioner og trigonometriske funktioner.

2. Sammensat funktion
Vi kalder funktioner med regneforskrifter af typen:
h (x)2x57 , h (x)5 , h (x)3x2 , h (x)5sin(2x)3 og h (x)e1x1,22

π 2 0,3 1 23x13 4 25
for sammensatte funktioner. Funktionerne er alle karakteriseret ved, at der hvor vi normalt finder den uafhængige variabel, er der skrevet en regneforskrift.

Denne kan vi opfatte som regneforskrift for en funktion, som vi kalder for den indre funktion.

Sådanne mere komplekse funktionsudtryk optræder ofte, når vi arbejder med matematisk modellering af forskellige fænomener. Funktionen h4 er således en harmonisk svingning, som kan være en model for udbredelse af lyd.

Funktionen h5 indgår i funktionsudtrykket for en normalfordeling, der kan være en statistisk model for højderne af alle børn i en bestemt skoleårgang.