Emneopgave om Eksponentielle funktioner i matematik.
Indholdsfortegnelse
Forskellen mellem en eksponentiel og lineær funktion 2
Definition af en eksponentiel funktion + forklaring af a og b: 2
Bestemmelse af en regneforskrift for en eksponentiel funktion ud fra to punkter på grafen. 4
Hvordan løses en eksponentiel ligning? 5
Den grafiske: 5
Den analytiske: 5
Tilnærmelsesvise eksponentielle udviklinger og eksponentiel regression.. 6
Redegørelse for fordoblings- og halveringskonstant: 8
Fordoblingskonstanten 8
Halveringskonstanten 9
Et eksempel på en eksponentiel funktion fra virkeligheden: 9
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Den lineære funktion beskrives således; f(x)=ax+b
Hvor i mod at ved den eksponentielle funktion beskrives den; f(x)=b•a^x
En eksponentiel funktion bruges til at beskrive den procentvise ændring, hvor der gøres brug af fremskrivningsfaktoren ( 1+r), hvor i mod at den lineære funktion er konstant.
A i en lineær funktion beskriver den konstante tilvækst for y hver gang x vokser med 1, hvor i mod at a i en eksponentiel funktion, angiver hvor meget du skal gange y-værdien med for hver gang x vokser med 1.
B er for både eksponentielle- og lineære funktioner begyndelsesværdien. Man rammer aldrig 0 i en eksponentiel funktion, men det kan man godt ved en lineær funktion.
Det er en eksponentiel funktion hvis R^2>0,95 og man vil gerne have at R^2 er så tæt på 1 som muligt, fordi hvis R^2=1 vil det sige, at alle punkterne fra datasættet ligger på modellens graf og er sammenkoblet.
Ved en lineær funktion skal man bruge 3 punkter for at sikre sig at den vokser med samme værdi for hver gang x vokser/aftager.
Hvis man kun har 2 punkter ville alle ligne lineære funktioner, og derfor ville man ikke kunne sikre sig at den i teorien havde samme konstant.
Hvor i mod at ved en eksponentiel funktion gør man brug af alle punkter, for at sikre sig den præcise vækstrate for funktionen.
---
Hvis vi har en graf med nogle punkter, som næsten ligger på grafen for en eksponentiel funktion, så er der tale om en tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling.
Man skal bruge forklaringsgraden til at afgøre det. Hvis er tæt på 1, betegner man grafen som tilnærmelsesvis eksponentiel.
Eksponentielle modeller:
Matematisk måde at formulere virkeligheden tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling på:
betyder forklaringsgrad determinationskoefficienten
= 1 betyder at alle punkterne fra datasættet ligger på modellens graf
= 0,95 accepter vi. Vi er i stand til at beskrive 95%, af den variation der er i data vha.
Modellen.
BGI Akademiet er Danmarks andenstørste efterskole.
De startede ud med at være en fattiggård og senere hen et børnehjem, men i 1995 blev der etableret en ungdomsskole i bygningerne.
Der kom det første elevhold som bestod af 15 drenge. Det er i dag Jyllands største efterskole.
Vi har undersøgt skolen og fundet ud af, hvordan og hvor meget skolens elevhold har ændret sig, vi kan nu se den eksponentielle udvikling de har haft i løbet af 61 år.
Med Nspire har vi lavet et datasæt over “årgang”, “år efter 1955” og “elevtal”. Vi har så undersøgt vores statistik og lavet en eksponentiel regression.
Vores -værdi er på 0,986, hvilket vil sige, at vi har brugt en eksponentiel funktion til at beskrive BGI’s udvikling.
Jo tættere vores forklaringsgrad er på 1, jo mere sammenkoblet er vores punkter på grafen. Vores punkter rammer dog ikke grafen helt. Vores er tæt på 1, og er derfor en tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling.
Skriv et svar