Differentialligninger | Noter Matematik

Indholdsfortegnelse
1a. Indledning til differentialligninger 1
1b. Oplæg 1
1c. Sprogbrug 1
1d. Mange løsninger 1
1e. Skrivemåder 1
1f. Hvad er en differentialligning? 1
2. Kontrol af løsning til differentialligning
2a. Undersøg om funktion er løsning til differentialligning. Gør rede for at funktion er løsning til differentialligning.
Eksempel 1. 2
2b. Undersøg om funktion er løsning til differentialligning. Gør rede for at funktion er løsning til differentialligning.
Eksempel 2. 2
3. Bruge oplysningen i differentialligning
3a. Bestem tangenthældning ud fra differentialligning 3
3b. Bestem y-koordinat ud fra differentialligning når tangenthældning er kendt 3
3c. Bestem x-koordinat ud fra differentialligning når tangenthældning er kendt 3
3d. Bestem ligning for tangent når differentialligning er givet 4
3e. Eksempel på brug af oplysningen i differentialligningen. 4
3f. Bestem væksthastighed ud fra differentialligning. Eksempel 1. 5
3g. Bestem væksthastighed ud fra differentialligning. Eksempel 2. 5
3h. Bestem størrelsen af y ud fra differentialligning når væksthastighed er kendt 6
3i. Bestem tidspunktet ud fra differentialligning når væksthastighed er kendt 6
4. Bestemme løsning til differentialligning
4a. Bestem løsningerne til en differentialligning 7
4b. Opgave og besvarelse 7
4c. De enkelte løsninger 7
4d. Bestem en løsning til en differentialligning
når én funktionsværdi (ét grafpunkt) er givet 7
4e. Løs differentialligning når to grafpunkter er givet 8
4f. Måske skal du selv indse at du skal løse differentialligningen. 8
4g. Bestem y-koordinat (størrelse) ud fra differentialligning
når tangenthældning (væksthastighed) IKKE er kendt 8
4h. Bestem x-koordinat (tidspunkt) ud fra differentialligning
når tangenthældning (væksthastighed) IKKE er kendt 8
5. Opstille differentialligning
5a. Proportional 9
5b-5f. Opgaver med besvatrelse 9-10
6. Logistisk differentialligning
6a. Eksponentiel vækst 11
6b. Logistisk vækst 11
6c. Bestem forskrift for størrelsen. 12
6d. Bestem øvre grænse for størrelsen 12
6e. Bestem størrelsen når væksthastigheden er størst 12
6f. Bestem tidspunkt hvor væksthastigheden er størst 13
6g. Tegn graf 13
7. Beviser
7a. Hjælpesætning 14
7b. Sætning 14

Uddrag
1b. Oplæg
En plantes højde y vokser sådan at der på ethvert tidspunkt t gælder at
højdes væksthastighed = højde
Dette kan vi skrive med symboler sådan:
y' = y  Her har vi opstillet en differentialligning.
Vi kan også udtrykke dette ved at sige at i hvert punkt på grafen er
tangenthældning = y-koordinat

Ligningen

y  y

er et eksempel på en differentialligning. De fleste differentialligninger er mere indviklede.

1c. Sprogbrug
For funktionen

f (x)  4ex gælder at
f (x)  4ex , så
f (x) opfylder betingelsen y' = y for hvert x .
Dette udtrykker vi ved at sige at
f (x) er en løsning til differentialligningen eller at
f (x) tilfredsstiller differentialligningen

1d. Mange løsninger
Vi ser at funktionen

f (x)  ex også er en løsning.

Vi ser at differentialligningen har mange løsninger.

1e. Skrivemåder
Symbolet
dy betyder det samme som y .
dx

Differentialligningen
y  y
kan også skrives sådan:
eller sådan:
f (x)  f (x) .


---

Opgave
En funktion f er defineret for ethvert tal x og er løsning til differentialligningen
dy  2x  1 .

dx y2  1

Gør rede for at f har et minimum.
Besvarelse
f er løsning til differentialligningen

dy  2x  1 , så

dx y2  1

i ethvert punkt (x, y) på grafen for f er tangenthældningen Dette tal har samme fortegn som 2x  1 ,

2x  1 .
y2  1

for

y2 1 er altid positivt da et tal i anden ikke kan være negativt.

2x  1  0

har løsningen

x   1 .

For

x  1 er

2x  1  1 , og for

x  0

er 2x  1  1 .

Tangenthældningen er altså negativ for

x   1

og positiv for

 1  x , så

f er aftagende i intervallet

x   1

og voksende i intervallet  1  x .

Heraf følger at f har minimum for

x   1 .

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned Få adgang nu