Indholdsfortegnelse
Differentialligninger 1
Eksempel - undersøg om funktionen er en løsning til differentialligningen 3
Opgaver 3

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P 4
Øvelse 1 4
Øvelse 2 5
Øvelse 3 6
Øvelse 4 6

Hældningsfelt 7
Linjeelement for Differentialligninger 7
Eksempel 7
Sætning 1 (s. 157) (Løsning til differentialligningen på formen y'=ky) 8
Bevis for sætning 1 8
Løser en opgave 9
Sætning 2 (s. 162) (løsning til differentialligningen på formen y'=b-ay) 10
Beviset for sætning 2: 11

Generelle lineære førsteordens differentialligningen 11
Eks 1. 11
Eks.2 12
Sætning 3 12
Bevis for sætning 3 12
Omformning af y'=k•y og y'=b-a•y til general lineære 13
Omformning af y'=b-a•y til general lineære førsteordens differentialligning 14

Differentialligningsmodeller 15
Vigtigt at vide inde man opstiller en model: 15
Husk: hastighed/væksthastighed 15

Eksempel: 15
Øvelse 1 15
Øvelse 2 15
Øvelse 3 16
Øvelse 4 16
Øvelse 5 16

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
En differentialligning er en ligning hvori en eller flere afledte af en funktion y=f(x) indgår evt. Sammen med funktionen selv.

Enhver funktion, der passer i ligningen kaldes en løsning og dens graf kaldes en løsningskurve eller en integralkurve.

En løsning skal være defineret i et interval og skal desuden være differentiabel. En enkelt løsning kaldes partikulær løsning og samtlige løsninger til en differentialligning kaldes den fuldstændige løsning

Eks.
y^'=f^' (x)=dy/dx

---

Bestemmer hældningen på tangenten til f i punktet P(0,6). dette gøres ved at indsætte y=6 i differentialligningen: a=f^' (x_0 )=0,5•6=3

Linjeelementet i P∶ (0,6;3)
Linjeelementet fortæller at hældningen på tangenten til grafen for f i punktet P er 3
y^'=0,5•y

Ifølge sætning 1 er den fuldstændige læsning til denne differentialligning:
f(x)=c•e^0,5x

For at bestemme c, så funktionen går gennem punktet P, skal vi løse ligningen:
f(0)=6

c•e^(0,5•0)=6
⟺
c•e^0=6