Indholdsfortegnelse
1 Differentialligninger5
1.1 Partikulære og fuldstændige løsninger 5
1.2 At gætte en løsning 7
1.3 Tangenter og hældningsfelter 8
1.4 Øvelser 10

2 Løsningsformler11
2.1 Eksponentiel vækst 12
2.2 Forskudt eksponentiel vækst 14
2.3 Logistisk vækst 15
2.4 Øvelser 18

3 Lineære førsteordens differentialligninger19
3.1 Panserformlen 19
3.2 Separation af variable 21
3.3 Øvelser 23

4 Numerisk løsning af differentialligninger25
4.1 Eulers metode 26
4.2 Heuns metode 27
4.3 Fjerdeordens Runge-Kutta 29
4.4 Øvelser 29

5 Opstilling af differentialligninger31
5.1 Øvelser 32
Bibliografi 33

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
I en almindelig ligning, f.eks.
2x + 3 = x2 − 5 ,

er den ubekendte x et tal. Løsningerne til ligningen er de tal x som får
ligningens venstre og højre side til at være lig med hinanden.1
1Den viste ligning har i øvrigt løsningerne

I en diflerentialligning er den ubekendte ikke et tal, men derimod en funktion. Man kan lave de samme regneoperationer med funktioner som man kan med tal, men derudover kan man også differentiere (og integrere).

En differentialligning er derfor en ligning der indeholder en funktion, f.eks. f samt funktionens afiedte f ‹.

---

1.2 At gætte en løsning
I nogle situationer kan man komme ud for at man ved hvilken type funktion man leder efter som løsning til en bestemt differentialligning.

Enten fordi man leder efter en funktion af en bestemt type, eller fordi differentiallig- ningens form gør det oplagt at gætte på en bestemt type funktion som løsning.

I sådanne tilfælde kan man bestemme en løsning ved at indsætte en funktion af denne type i differentialligningen.

Det demonstreres måske nemmest vha. et eksempel:
Eksempel 1.3 En differentialligning er givet ved
y − 2xy‹ = 0

og man leder efter en potensfunktion der løser ligningen. Dvs. man ved allerede at løsningen har formen
f (x) = bxa .

Detter indsætter man i differentialligningen, og man får
f (x) − 2x ⋅ f ‹(x) = 0 ⇔ bxa − 2x ⋅ abxa−1 = 0 ⇔ bxa − 2abxa = 0 ⇔
(b − 2ab)xa = 0 .

Da løsningen er en funktion, skal ligningen være opfyldt for alle x. Dette kan kun lade sig gøre hvis koe@cienten b − 2ab giver 0. Der må derfor gælde at
b − 2ab = 0 ⇔ b(1 − 2a) = 0 ⇔ b = 0 ∨ a = 1 .

Hvis b = 0, er funktionen ikke en potensfunktion, så denne løsning kas- seres. Der må derfor gælde at a = 1 , dvs. de potensfunktioner der løser differentialligningen ovenfor, har formen

1
f (x) = b ⋅ x 2 .

Som man kan se af eksemplet, finder man altså løsningen ved at indsætte en funktion på den ønskede form i differentialligningen og derefter sørge for at ligningen er sand for alle x.

At ligningen skal gå op for alle x, skyldes at der er tale om en differential- ligning, dvs. løsningen er en funktion. Ligningen skal derfor gå op uanset hvilken værdi af x der indsættes i løsningsfunktionen f (x).

Løsningen må altså på ingen måde afhænge af bestemte værdier af x.
Eksempel 1.4 Her leder man efter det andengradspolynomium som løser ligningen
y‹ = y − 4x2 − 1 .