• SRP
  • Uddannelse: STX
  • Karakter: 12 tal
  • Ord: 629

Indledning
I denne rapport kombineres matematik og fysik for at undersøge cirkelbevægelser ved hjælp af anden ordens differentialligninger og tilknyttede eksperimentelle metoder.

Formålet er at demonstrere, hvordan differentialligninger kan anvendes til at beskrive cirkelbevægelser og undersøgelse af magnetiske kræfter ved hjælp af Helmholtz-spoler, samt bestemme elektronens ladning pr. masse.

Dette indleder med en teoretisk gennemgang af anden ordens differentialligninger, dernæst vises koblingen til cirkelbevægelser, og endeligt udføres et eksperiment for at bestemme elektronens ladning pr. masse.

Indholdsfortegnelse
Indledning
Løsning af 2. ordens Differentialligninger
Cirkelbevægelse
Magnetfelt og Cirkelbevægelse
Forsøg: Bestemmelse af e/m vha. Helmholtz-spoler
Konklusion

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
En cirkelbevægelse kan også beskrives ved en differentialligning, der stammer fra Newtons love.

En partikel i en cirkelbevægelse oplever en centripetal acceleration, der er rettet mod centrum af cirklen og er proportional med kvadratet af partiklens hastighed.

Newtons anden lov for cirkelbevægelsen er:
F=m⋅ac,F = m \cdot a_c,F=m⋅ac,

hvor ac=v2ra_c = \frac{v^2}{r}ac=rv2 er den centripetale acceleration, mmm er massen af partikkelen, vvv er hastigheden, og rrr er radius af cirklen.

Den centripetale kraft FcF_cFc opstår typisk som en centralkraft, som kan være en elektromagnetisk kraft i tilfælde af ladede partikler i et magnetfelt.

Cirklens parameterfremstilling i to dimensioner kan beskrives ved løsningen af differentialligningen:
y′′=−k2⋅y,y'' = -k^2 \cdot y,y′′=−k2⋅y,

som vi tidligere har vist har løsningen:
y(t)=C1cos⁡(kt)+C2sin⁡(kt).y(t) = C_1 \cos(kt) + C_2 \sin(kt).y(t)=C1cos(kt)+C2sin(kt).

Ved at substituere k=2πTk = \frac{2\pi}{T}k=T2π, hvor TTT er periodetiden, får vi den klassiske parameterfremstilling for en cirkel:

x(t)=Rcos⁡(ωt),x(t) = R \cos(\omega t),x(t)=Rcos(ωt), y(t)=Rsin⁡(ωt),y(t) = R \sin(\omega t),y(t)=Rsin(ωt),

hvor ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T}ω=T2π er den vinkelhastighed, og RRR er cirklens radius.