Differentialligninger | Emneopgave | 10 i karakter

Indholdsfortegnelse
Differentialregning 3
- Differentialligninger - kontrol af løsning 3
- Eksempel på differentialligning 5

Tangenthældning og linjeelement 6
- Generel løsning til y'=x+y 7
- Definition af linjeelement 7
- Øvelse 425 7

Find fuldstændige løsninger til differentialligninger 9
- Eksempel 432 10
- Løsning i Ti-Nspire 11
- y'=g(y) 12
- Eksempel 13

Ekspotentiel vækst 14
- Eksempel 14
- Øvelse 444 15
- 2. eksempel 15
- Separation af variable 16

Bevis for formlen til fuldstændig løsning af y'=ay 17
- Tjek, at det er en løsning 18

Ekspotentiel vækst 18
Forskudt ekspotentiel vækst 20

Eksempel 22
- Newtons afkølingslov 23

Bevis for af separation af variable y'=b-ay 25

Logistiskvækst - den logistiske ligning 30
- Eksempel 31
- Vise at ba el. M er en øvre grænse 32
- Hvornår opnår man den maksimale væksthastighed? 33
- Eksemplet med ørreder (0,20) 34

Uddrag
Differentialregning
f'(x) = Tangentens hældning - siger noget om, hvor meget grafen vokser
Differentialligninger - kontrol af løsning

Forskellige skrivemåder:
y^'=x+y Denne bruges oftest
dy/dx=x+y
dx/dy=x+f(x)

Interessant: hvilken funktion, der sættes på y-plads for at få det samme på begge sider.
Indsætter y^'=x+y på TI-Nspire (værktøjskasse  Rute 38  Rediger parametre  Feltopløsning 50)

---

Tangenthældning og linjeelement
y^'=x+y

Find tangenthældningen som opfylder at løsningen til y’ går gennem f(0)=-1
Sætter hældningen-y til at være -1 og x=0:
y^'=0-1=-1
Linjeelementet bliver:
(0,1;-1)

Løsningen gennem (-1,0):
y^'=x+y=-1+0=-1
Linjeelementet bliver:
(-1,0;-1)

Tangentlinjen:
y=f^' (x_0 )(x-x_0 )+f(x_0)
y=-1(x(-1))+0
y=-x-1
Er y=-x-1 en løsning?

Differentiere y=-x-1
y^'=-1

Derefter indsætter løsning i ligningen:
y^'=x+y
y^'=x+(-x-1)
y^'=-1 Dvs. y=-x-1 er en løsning til y^'=x+y

Find tangenthældningen i (3,4)
Ved at indsætte punktet (3,4) i Ti-Nspire vil den give en skitse af en løsning.
y^'=x+y=3+4=7 , (3,4;7)

Generel løsning til y^'=x+y
y=ke^x-x-1

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned
  • Adgang nu og her
  • 20 Downloads
  • Ingen binding
  • Let at opsige
  • Adgang til rabatter
  • Læs fordelene her
Få adgang nu