• Matematik
  • Uddannelse: HHX
  • Karakter: 10 tal
  • Ord: 2699

Indholdsfortegnelse
Opgave 1: Approksimation af binomialfordeling
a. Brug Definition 751 (Bernoulli-forsøg) og Definition 752 (Binomialeksperiment) i lærebogens afsnit 7.5 til at beskrive, hvorfor denne situation kan betragtes som et binomialeksperiment.

Hvad er grundenheden? Hvilke to udfald er der? Inddrag samtlige relevante begreber og giv en fuldstændig beskrivelse

b. Man skriver matematisk, at den stokastiske variabel X er fordelt med følgende fordeling. Hvilke værdier skal du indsætte i formlen med hensyn til selve opgaven?

c. Brug Sætning 752 i lærebogens afsnit 7.5 til at beregne middelværdien μ og standardafvigelsen σ. Husk at skrive selve formlerne ned.

d. Beregn sandsynligheden for at præcist 24 elever er smittet.

e. Beregn sandsynligheden for at højst 25 elever er smittet.

f. Beregn sandsynligheden for at mindst 30 elever er smittet.

g. Beregn sandsynligheden for at mellem 15 og 55 elever er smittet.

h. Gennemfør testen, om sandsynlighederne også kunne approksimeres ved hjælp af en normalfordeling N(μ,σ). Her er der tale om en bestemt betingelse der skal være opfyldt.

j. Approksimer alle sandsynlighederne i spørgsmålene d. til og med g. ved hjælp af den passende normalfordeling N(μ,σ). Skriv tydeligt ned, hvilke sandsynligheder du i de 4 tilfælde rent faktisk beregner.

Opgave 2:
a. Beregn stikprøvens andel p ̂.

b. Sammenlign stikprøvens andel p ̂ med informationen fra Statens Serum Institut om den sande værdi p.

c. Tjek om forudsætningen til at kunne beregne et konfidensinterval overhovedet er givet i denne situation.

d. Beregn et 95% konfidensinterval for den ukendte andel p på hele skolen.

e. Hvordan fortolker man konfidensintervallet? Hvad siger det i den her situation?

f. Brug dit svar fra den forudgående delopgave til at vurdere om informationen fra Statens Serum Institut alligevel var rigtig, nemlig at der må regnes med 3 pct. smittede elever selvom stikprøvens andel var højere.

g. Hvad sker der med konfidensintervallets grænser, når man vælger et 99% konfidensinterval i stedet for et 95% konfidensinterval? Brug den generelle formel (913) i afsnit 9.1 for konfidensintervaller til at forklare.

h. Hvad sker der med konfidensintervallets grænser hvis Dorthe havde sendt 400 elever til kviktestcentret?

Gå ud fra der også ville have været dobbelt så mange elever der var blevet testet positivt således at p ̂ har den samme værdi. Brug den generelle formel (913) i afsnit 9.1 for konfidensintervaller til at forklare.

Opgave 3: Normalfordeling
f. Giver konfidensintervallet anledning til at tro, at produktionen er fejlbehæftet? Kan Sammy lade produktionen fortsætte eller skal han stoppe den?

Opgave 4: Chi-i-anden uafhængighedstest
b. Beregn andelen af de 15- til 25-årige der foretrækker Georg Jensen.

c. Beregn et 95% konfidensinterval for den andel fundet i opgavedel b. Husk at tjekke om forudsætningen til at kunne beregne et konfidensinterval overhovedet er givet i denne situation. Hvis ikke du husker den, slå den op i afsnit 9.1.

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
Opgave 1: Approksimation af binomialfordeling
Ikke igen, ikke igen. Og alligevel ser det pro tempore ud som om den fjerde coronabølge er ved med at udvikle sig her i landet.

Rektor Dorthe Jul Heide Ottosen er meget bekymret på vegne af hendes elever på Niels Brock Handelsgymnasium. Efter et opkald til Statens Serum Institut får hun oplyst at hun godt må regne med 3 pct. smittede elever blandt hendes 1000 elever.

a. Brug Definition 751 (Bernoulli-forsøg) og Definition 752 (Binomialeksperiment) i lærebogens afsnit 7.5 til at beskrive, hvorfor denne situation kan betragtes som et binomialeksperiment.

Hvad er grundenheden? Hvilke to udfald er der? Inddrag samtlige relevante begreber og giv en fuldstændig beskrivelse.

Det grundlæggende bernoulli-forsøg = At være smittet med corona eller ej.
p= Man er ikke smitte med corona
q=Man er smittet med corona
n=1000

Vi beregner nu sandsynligheden for succes(p)
P=3/100=0,03=3%

Vi beregner nu sandsynligheden for fiasko(q) ved at anvende Aksiom 2:
q=1-0,03=0,97=97%

b. Man skriver matematisk, at den stokastiske variabel X er fordelt med følgende fordeling. Hvilke værdier skal du indsætte i formlen med hensyn til selve opgaven?

X~b(n,p)
Talværdierne indsat i formel:

X~b(1000;0,03)

---

h. Gennemfør testen, om sandsynlighederne også kunne approksimeres ved hjælp af en normalfordeling N(μ,σ). Her er der tale om en bestemt betingelse der skal være opfyldt.

Før at vi kan finde ud af om sandsynlighederne også kan approksimeres ved hjælp af en normalfordeling N(μ,σ), skal vi tjekke om betingelsen np(1-p)>9 er opfyldt.

1000∙0,03(1-0,03)>9
30∙0,97>9
29,1>9

Da 29,1 er større end 9, er betingelsen opfyldt, og vi må derfor godt anvende normalfordelingen

i. Hvis svaret i det forudgående spørgsmål er affirmativt, hvilken normalfordeling N(μ,σ) skal man så bruge?

For at finde frem til hvilken normalfordeling vi skal bruge, skal vi finde frem til hvad helholdvis μ og σ er. Dette gør vi ved at indsætte vores talværdier i følgende formler:
N(np,√(np(1-p))

Vi beregner først middelværdien μ ved hælp af følgende formel:
μ=n∙p
Indsat i formlen:
μ=1000∙0,03