Bevissamling | Kæmpe dokument

Indholdsfortegnelse
Sætning 1 (Kvadratet på en toleddet størrelse) 3
Sætning 2 (To tals sum gange de samme to tals differens) 4
Sætning 3 (Konstanterne a og b i den lineære funktion) 5
Sætning 4 (Nulpunkt for en lineær funktion) 8
Sætning 5 (Niveaulinjerne er rette linjer med samme hældning) 9
Sætning 6 (Koefficienten b i en andengradsfunktion) 11
Sætning 7 (Toppunktsformlen) 12
Sætning 8 (Nulpunktsformlen) 14
Sætning 9 (Konstanterne a og b i den eksponentielle funktion) 16
Sætning 10 (Omvendt lineær funktion) 20
Sætning 11 (Tilbageskrivningsformlen) 22
Sætning 12 (Rentefodsbestemmelse) 23
Sætning 13 (Terminsantal) 24
Sætning 14 (Gældsformlen) 26
Sætning 15 (Differentialkvotient) 28
Sætning 16 (Differentiation af sum/differens) 31
Sætning 17 (Differentiation af en konstant funktion) 33
Sætning 18 (Differentiation af den lineære funktion) 34
Sætning 19 (Differentiation af den simple andengradsfunktion) 35
Sætning 20 (Differentiation af kvadratrodsfunktionen) 36
Sætning 21 (Tangentens ligning) 38
Sætning 22 (Punktsandsynligheder i binomialfordelingen) 40
Sætning 23 (Terminsformel for fremtidsværdi) 41
Sætning 24 (Sammensatte lineære funktioner) 42
Sætning 25 (Formler for middeltal) 43
Sætning 26 (Nulpunkt for polynomier uden konstantled) 45
Sætning 27 (Skæringspunkt mellem to lineære funktioner) 46
Sætning 28 (Formel for forventede værdier i uafhængighedstest) 48
Sætning 29 (Fordoblings- og halveringskonstant) 50
Sætning 30 (Generel løsning til simpel eksponentiel ligning) 52
Sætning 31 (Logaritmeregneregel) 53
Sætning 32 (Bredde af konfidensinterval for andel) 54
Sætning 33 (Frihedsgrader i en uafhængighedstest) 56
Sætning 34 (Udfaldsrum og hændelser) 58
Sætning 35 (Maksimering af kriteriefunktion ud fra polygonområde) 60
Sætning 36 (Differentialkvotient til naturlig eksponentialfunktion) 61
Sætning 37 (Nulpunkter for andengradsfunktion uden b-led) 63
Sætning 38 (Nulpunkter for andengradsfunktion uden c-led) 65
Sætning 39 (Andengradspolynomier har ikke vendepunkter) 66
Sætning 40 (Vendepunkt til tredjegradspolynomium) 67

Uddrag
Sætning 1 (Kvadratet på en toleddet størrelse)
Sætningen beskrives således med ord: ”Kvadratet på en toleddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus eller minus det dobbelte produkt.”

(Et produkt vil sige, at to tal ganges med hinanden)
Der anvendes plus ved det dobbelte produkt, når de to led har samme fortegn.

Den første kvadratsætning:
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

Der anvendes minus ved det dobbelte produkt, når de to led har forskellige fortegn.
Den anden kvadratsætning:
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab

Bevis
Den første kvadratsætning bevises:
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2+2ab

Den anden kvadratsætning bevises:
(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2+b^2-2ab

Sætning 2 (To tals sum gange de samme to tals differens)
Sætningen beskrives således med ord: ”To tals sum gange de samme to tals differens er lig med kvadratet på første led minus kvadratet på andet led.”

Den tredje kvadratsætning:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Bevis
Den tredje kvadratsætning bevises:
(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2

Sætning 3 (Konstanterne a og b i den lineære funktion)
For en lineær funktion f(x)=ax+b, der går gennem punkterne (x_1,y_1) og (x_2,y_2) gælder, at hældningskoefficienten a kan beregnes ved
a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

og konstanten b kan beregnes ved
b=y_0-ax_0
hvor (x_0,y_0) er enten (x_1,y_1) eller (x_2,y_2).

Bevis
Først vises det, hvordan a beregnes.

Da funktionen går gennem de to punkter (x_1,y_1) og (x_2,y_2), må det gælde, at
f(x_1 )=ax_1+b=y_1 og f(x_2 )=ax_2+b=y_2

Vi tager udgangspunkt i den første ligning og isolerer b.
ax_1+b=y_1 □(⇔) b=y_1-ax_1

Nu substituerer (udskifter) vi det fundne udtryk for b ind i den anden ligning og omskriver.
ax_2+b=y_2

⇕ indsætter den fundne b-værdi
ax_2+y_1-ax_1=y_2

⇕ trækker y_1 fra på begge sider af lighedstegnet
ax_2-ax_1=y_2-y_1

⇕ faktoriserer venstresiden ved at sætte a uden for parentes.
a(x_2-x_1)=y_2-y_1

⇕ dividerer med udtrykket x_2-x_1 på begge sider af lighedstegnet
a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

Det er formlen for hældningskoefficienten a.
Nu vises det, hvordan b beregnes.

Vi benytter punktet (x_0,y_0 ), der er enten (x_1,y_1) eller (x_2,y_2). Vi ved, at funktionen går gennem dette punkt, hvorfor følgende må gælde f(x_0 )=ax_0+b=y_0

Vi isolerer b i ovenstående ligningen ved at trække ax_0 fra på begge sider af lighedstegnet.
ax_0+b=y_0 □(⇔) b=y_0-ax_0 

Alternativt bevis for a
Da funktionen går gennem de to punkter (x_1,y_1) og (x_2,y_2), må det gælde, at
f(x_1 )=ax_1+b=y_1 og f(x_2 )=ax_2+b=y_2

De to udtryk trækkes nu fra hinanden. Det gøres ved at trække højre siderne fra hinanden og venstresiderne fra hinanden.
y_2-y_1=(ax_2+b)-(ax_1+b)

⇕ minusparentesen ophæves
y_2-y_1=ax_2+b-ax_1-b

⇕ reducerer idet b’erne går ud med hinanden
y_2-y_1=ax_2-ax_1

⇕ faktoriserer venstresiden ved at sætte a uden for parentes.
a(x_2-x_1)=y_2-y_1

⇕ dividerer med udtrykket x_2-x_1 på begge sider af lighedstegnet
a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

Det er formlen for hældningskoefficienten a.

Sætning 4 (Nulpunkt for en lineær funktion)
For en lineær funktion f(x)=a∙x+b, hvor a≠0 gælder, at funktionen har netop ét nulpunkt, der har koordinatsættet ((-b)/a ,0).

Bevis
For at finde nulpunkter løses ligningen f(x)=0
f(x)=0

⇕ indsætter funktionsudtrykket
a∙x+b=0

⇕ trækker b fra på begge sider af lighedstegnet
a∙x=-b

⇕ dividerer med a på begge sider af lighedstegnet
x=(-b)/a

Nu er x-koordinaten til nulpunktet fundet, og y-koordinaten til et nulpunkt er altid nul, hvorfor nulpunktets koordinatsæt er ((-b)/a ,0).

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned Få adgang nu