Sandsynlighed | Opgave

Indledning
Sandsynlighed angiver en chance eller risiko ved, at noget sker i en given situation. Sandsynligheden kan hertil bestemmes enten ved subjektive sandsynlighed, objektive sandsynlighed eller relative frekvens.

De subjektive sandsynligheder bunder i en personlig vurdering af sandsynligheden for en bestemt hændelse.

Den objektive sandsynlighed tager udgangspunkt i simple optællinger eller kombinatoriske beregninger. De relative frekvenser bestemmer sandsynligheden på baggrund af en stor stikprøve.

Indholdsfortegnelse
Sandsynlighedsbegreber
Hændelser
Regneregler for hændelser
Symmetrisk sandsynlighed
Eksempel: Terningekast
Betinget sandsynlighed\
Stokastisk afhængighed og uafhængighed
Bevis for multiplikationsformlen
Eksempel: Sundhedsproblemer og løber
Stokastiske variabel
Eksempel: Terningekast
Binomialfordeling
Eksempel
Stikprøve og population
Konfidensinterval og normalfordeling
Eksempel
Hypotesetest
Chi-test
Goodness of fit-test
Eksempel
Regressionsanalyse
Mindste kvadraters metode
Eksempel

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
Hændelser
Ved en sandsynlighedsfelt angiver hændelser en del af udfaldsrummet. Med andre ord angiver hændelser en delmængde A af udfaldsrummet U. Dette beskrives således:

A={u┤ ├ ,…,u_k }

Sandsynligheden for hændelsen A bestemmes dermed således:
P(A)=P(u_1 )+ … +P(u_k)

Ydermere illustreres hændelser grafisk ved et Venn-diagram:
I forbindelse med 2 hændelser tales der om en fællesmængde og en foreningsmængde.

Ved en hændelse A og en hændelse B betegnes fælleshændelsen, som de fælles udfald for hændelse A og en hændelse B. Dette beskrives således:
A∩B

Fællesmængden kan desuden belyses grafisk ved et Venn-diagram:
Foreningsmængden for hændelse A og en hændelse B betegner alle udfald i både hændelse A og en hændelse B.

Foreningsmængden kan dermed beregnes ved formlen:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

I formlen fratrækkes fællesmængden fra hændelse A og en hændelse B sammenlagt, for at samme udfald ikke optræder flere gange. Fællesmængden kan desuden illustreres grafisk ved et Venn-diagram:

Den komplementære hændelse betegnes som den modsatte hændelse. Det vil sige den kompletære for hændelse A angiver de udfald, der ikke forekommer i hændelse A. Dette beskrives i formlen:
P(A ̅ )=1-P(A)

Den komplementære hændelse illustreres således grafisk ved et Venn-diagram:
Den disjunkte hændelse beskriver to hændelser, som ikke har nogle udfald tilfælles.

Det vil sige, hvis hændelse A og hændelse B ingen fællesmængde har og dermed ingen ens udfald har. Den disjunkte hændelse beskrives således:
A∩B=∅

Det matematiske tegn ∅ angiver den tomme mængde. Det vil sige hændelsen ingen elementer har.

I relation til det overstående matematiske udtryk angiver dette, at ved disjunkte hændelser er fælleshændelsen den tomme mængde. Dette beskrives grafisk ved et Venn-diagram:

Regneregler for hændelser
Regnereglerne for hændelser er følgende:

Sandsynligheden for hele udfaldsrummet skal være lig med en:
P(U)=1

Sandsynligheden for den tomme mængde er o:
P(Ø)=0

For en vilkårlig hændelse A gælder følgende:
P(A ̅ )=1-P(A)

Sandsynligheden for fællesmængden for to vilkårlige hændelser A og B findes ved:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

Sandsynligheden for fællesmængden for to disjunkte hændelser A og B:
P(A∪B)=P(A)+P(B)

Symmetrisk sandsynlighed
I relation til symmetrisk sandsynlighedsfelt forekommer alle sandsynlighederne lige store.

Det vil sige sandsynligheden for alle udfald i det symmetrisk sandsynlighedsfelt (U,P) er lige stor.

Til bestemmelse af sandsynlighed for hændelse A i det symmetriske sandsynlighedsfelt kan dermed findes ved formlen:
P(A)=(Antal udfald i A)/(Antal udfald i U)

Eksempel: Terningekast
I dette eksempel kastes der med 1 terning, udfaldsrummet svarer derfor til: U={├ 1,2,3,4,5,6}┤.

Eksemplet er symmetrisk sandsynlighed, da der ved alle udfald forekommer lige stor sandsynlighed. Med det menes, at der er lige stor sandsynlighed for alle terningeslagene. Dette illustreres i nedenstående tabel:

Med udgangspunkt i hændelse A og hændelse B beregnes nedenstående sandsynligheder. Hertil er hændelserne defineret som:
A: udfald, der er lige tal - 2,4,6
B: udfald over 3 - 4,5,6

Sandsynligheden for hændelse A er:
P(A)=P(u_2 )+P(u_4 )+P(u_6 )=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2

Sandsynligheden for hændelse B er:
P(B)=P(u_4 )+P(u_5 )+P(u_6 )=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2

For at forkorte den ovenforstående beregning kan sandsynlighederne også skrives på følgende måde:
P(A)=3/6=1/2 og P(B)=3/6=1/2

Hertil ses det desuden, at hændelse A og hændelse B’s fællesmængde er defineret ved:
P(A∩B)={├ 4,6}┤=1/6+1/6=2/6

Dertil forekommer også foreningsmængden som er defineret ved:
P(A∪B)=(4,5,6)=1/6+1/6+1/6+1/6=4/6

Betinget sandsynlighed
Den betinget sandsynlighed betegner sandsynligheden for en hændelse, når man ved, at en given hændelse er indtruffet.

Det vil sige sandsynligheden for hændelse A betinges af, at hændelse B er indtruffet. Sandsynligheden for hændelse A givet hændelse B er defineret ved:

P(A│B)=(P(A⋂B))/(P(B))
Dette udtryk betinges af, at P(B)>0.