Rensningsanlæg Optimering af Materialer – Matematik Rapport

Problemformulering
En kommune er ved at planlægge anlæg af et nyt rensningsanlæg, som skal rense spildevandet fra byerne Andestrup og Bjørneby, og i den forbindelse skal der foretages nogle optimeringsberegninger.

Rensningsanlægget skal placeres ved kystlinjen, mens byerne ligger lidt inde i landet, som vist på figur 1.

Fra hver af de to byer skal der etableres en rørledning ud til rensningsanlægget.

På rensningsanlægget skal der opstilles en kemikaliebeholder, der skal kunne rumme 40 m3. Det overvejes om den skal være cylinderformet eller kegleformet (se figur 2).


1) Gør rede for sammenhængen mellem tangenthældning og f^' (x) samt, hvordan dette kan benyttes i forbindelse med optimering.

2) Forklar tretrinsreglen, angiv definitionen på f^' (x) (eller dy/dx) og vis, hvordan tretrinsreglen kan benyttes til at udlede den afledede funktion af f(x)=2x^2+4.

3) Gør kort rede for differentiering af en sammensat funktion (kædereglen) – forklar gerne anvendelsen med udgangspunkt i et eksempel.

4) Der ønskes en beregning af, i hvilken afstand fra punkt D rensningsanlægget skal placeres på kystlinjen, for at den samlede rørlængde, |AR|+|BR| bliver mindst mulig.
Det forudsættes at kystlinjen er en ret linje. Der er givet følgende afstande (se figur 1):
|AD|=4,5 km |BC|=7 km |CD|=15 km

5) Desuden beregnes, hvor lange, de to rørstrækninger bliver, samt vinklen mellem de to rørstrækninger.

6) Der ønskes en beregning af højde, diameter og overflade på beholderen, så overfladen bliver mindst mulig, hvis den udformes som:
a. Cylinder uden låg
b. Cylinder med låg
c. Kegle uden låg
d. Kegle med låg

Indledning
Dette projekt går ud på at bruge differentialregning til at finde tangenthældninger og optimering af funktioner.

Indholdsfortegnelse
Indledning 2
Problemformulering 2
Opgaver 3
Opgave 1 3
Forudsætninger 3
Beregninger 3
Løsning 4
Opgave 2 4
Forudsætninger 4
Beregninger 4
Løsning 4
Opgave 3 5
Forudsætninger 5
Beregninger 5
Løsning 5
Opgave 4 5
Forudsætninger 5
Løsningsstrategi 6
Beregninger 6
Løsning 7
Opgave 5 7
Forudsætninger 7
Løsningsstrategi 7
Beregninger 7
Løsning 8
Opgave 6 8
Forudsætninger 8
Løsningsstrategi 8
Beregninger 8
Løsning 12
Konklusion 12

Uddrag
Opgave 2
Forudsætninger
Forklar tretrinsreglen, angiv definitionen på f^' (x) (eller dy/dx) og vis, hvordan tretrinsreglen kan benyttes til at udlede den afledede funktion af f(x)=2x^2+4.
Beregninger
Så vi har funktionen, som vi nu skal differentier ved hjælp af tretrinsreglen.
f(x)=2x^2+4
Jeg starter med at finde funktionstilvæksten, som siger dette:
∆y=f(x+∆x)-f(x)
Dermed sætter jeg de informationer ind i formlen og får dette:
∆y=(2(x+∆x)^2+4)-(2x^2+4)
∆y=2∆x^2+2x·∆x=∆x(2∆x+2x)
∆y=∆x(∆x(2∆x+2x))
Nu siger tretrinsreglen at jeg skal finde differenskvotienten.
∆y/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/∆x
∆y/∆x=∆x(2∆x+2x)/∆x=2∆x+2x
Jeg kan nu finde f^' (x) ved denne formel:
f^' (x)=lim┬(x→0)⁡((f(x+∆x)-f(x))/∆x)
f^' (x)=lim┬(x→0)⁡〖(2∆x+2x)〗=2x

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned
  • Adgang nu og her
  • 20 Downloads
  • Ingen binding
  • Let at opsige
  • Adgang til rabatter
  • Læs fordelene her
Få adgang nu