Disposition | Funktionsundersøgelse

Indholdsfortegnelse
Hvad er en funktionsanalyse?
Forskellige typer funktioner
Gennemgang af en funktionsanalyse
Monotoniforhold
Differentialregning og tangenter
Tangentbestemmelse
Gennemgang af tangentbestemmelse

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
Hvad er en funktionsanalyse?
Funktionsanalyse er inden for matematik en undersøgelse af en række egenskaber ved en matematisk funktion, ofte ud fra funktionens forskrift. Analysen bruges som regel til at beskrive og identificere egenskaberne ved ens funktion og graf.

Når man laver en funktionsanalyse, er det oftest i forbindelse med 3.- og 4. gradsfunktioner. Man bruger differentialregning i forbindelse med at gennemføre analysen.

Forskellige typer funktioner
En funktion kan beskrives ved en regneforskrift, der knytter præcis én y-værdi til en given x-værdi.

Vi skriver:
y = f(x)

Mængden af x-værdier (1. koordinater) benævnes definitionsmængden Dm(f) og mængden af yværdier (2. koordinater) benævnes værdimængden Vm(f).

De tre grundlæggende funktionstyper er den lineære funktion, eksponentialfunktion og potensfunktionen.

Figur 2.1.4 viser et eksempel på de tre funktioner. Funktionen f viser en lineære funktion, funktionen h er en andengradsfunktion som er et eksempel på en potensfunktion, funktionerne j og k er eksempler på særlige eksponentialfunktioner nemlig logaritmefunktioner.

Funktionen k er den naturlige logaritme, og funktionen j er den omvendte funktion til ln(x) nemlig Eulers tal også skrevet som e^x " Funktionen som bruges i forbindelse med en funktionsanalyse, er potensfunktionerne.

Gennemgang af en funktionsanalyse
Definitionsmængden er alle mulige x-værdier. Tit er det alle reelle tal, men i nogle tilfælde er der visse tal som ikke kan være en given x-værdi.

---

I fortegnsvariationen analyserer man hvornår grafen er positiv og hvornår den er negativ. Hvis polynomiet skifter fortegn, sker fortegnsskiftet altid ved et nulpunkt.

Der er dog undtagelser. hvis nulpunktet er dobbelt, er der dobbelt fortegnsskifte, hvilket er det samme som intet fortegnsskift. Dvs. fortegnet er det samme omkring et dobbelt nulpunkt.

Hvis der er tale om et 3. gradspolynomium med en positiv a-værdi, ved man at polynomiet starter med at være negativ, og slutter med at være positiv. Modsat ved et 4. gradspolynomium hvis a er positiv vender grenene opad.

(Antallet af buer i ens polynomium eller hvilken potens ens polynomium er opløftet i afgør hvilket polynomium der er tale om. Hvis der er tale om et 3. gradspolynomium vil der være 2 buer, og 3 nulpunkter, og ved et 4. gradspolynomium vil der være 3 buer og 4 nulpunkter.

Der vil være det antal nulpunkter man ser på grafen eller potensen viser, men 1 bue mindre på grafen end hvad potensen viser) Monotoniforholdene viser om en funktion er er voksende eller aftagende, dette kan både vises grafisk og algebraisk.

Den grafiske metode er upræcis og derfor bliver monotoniforholdene ofte udregnet algebraisk.

En funktion er voksende der hvor differentialkvotienten er positiv
En funktion er aftagende der hvor differentialkvotienten er negativ.

En funktions ekstrema hænger tæt sammen med funktionens monotoniforhold. Funktionens ekstrema bestemmes ud fra monotoniforholdene. Ordet ekstrema er en fællesbetegnelse for minimum og maksimum.

Et minimum er det sted på grafen, hvor funktionsværdien (y-værdien) er mindst og, et maksimum er stedet på grafen, hvor funktionsværdien (y-værdien) er størst. Hvis man ser grafisk på det er
minimum en bund og maksimum er en top på grafen.