Indholdsfortegnelse
2.1 Funktionsbegrebet og forskellige funktionstyper 1
Funktionsbegrebet 1
Eksempler 1
Polynomier, grad, graf og ledende koefficient 2
Antal nulpunkter for polynomier 4
Funktionsundersøgelse, Eksempel 1, ubegrænset definitionsmængde 5
1 Definitionsmængde 5
3 Fortegnsvariation 5
4 Monotoniforhold 5
5 Ekstrema 5
6 Vendetangent 5
7 Værdimængde 5
Funktionsundersøgelse, Eksempel 2, begrænset definitionsmængde 6
1 Definitionsmængde 6
2 Nulpunkter 6
3 Fortegnsvariation 6
4 Monotoniforhold 6
5 Ekstrema 6
6 Vendetangent 6
7 Værdimængde 6
2.2 Definitionsmængde for polynomier 7
2.2 Nulpunkter for polynomier - 2 specialtilfælde 7
xSpecialtilfælde A: polonominer uden konstantled, dvs. der er x på alle led 7
Specialtilfælde B: Polynomier, hvor der er netop 2 led med x og den ene eksponent er dobbelt så stor som den anden potens. 8
Eksempel 1 8
Løs ligningen x4-5x2+4=0 8
x4-5x2+4=0 9
Her er netop 2 led med x, nemlig x4 og -5x2. 9
Potensen på det første led er 4, det dobbelte af potensen på det andet led, som er 2. 9
Derfor kan x2 med fordel erstattes af en anden variabel z=x2. 9
variablen z sættes altid lig med den variabel, der har den mindste potens. 9
Variablen x4=x•x•x•x=x•x•x•x=x2•x2=z•z=z2 9
Det giver følgende omskrivning af 4. gradsligningen: 9
2.1 Funktionsbegrebet og forskellige funktionstyper 1
Funktionsbegrebet 1
Eksempler 1
Polynomier, grad, graf og ledende koefficient 2
Antal nulpunkter for polynomier 4
Funktionsundersøgelse, Eksempel 1, ubegrænset definitionsmængde 5
1 Definitionsmængde 5
3 Fortegnsvariation 5
4 Monotoniforhold 5
5 Ekstrema 5
6 Vendetangent 5
7 Værdimængde 5
Funktionsundersøgelse, Eksempel 2, begrænset definitionsmængde 6
1 Definitionsmængde 6
2 Nulpunkter 6
3 Fortegnsvariation 6
4 Monotoniforhold 6
5 Ekstrema 6
6 Vendetangent 6
7 Værdimængde 6
2.2 Definitionsmængde for polynomier 7
2.2 Nulpunkter for polynomier - 2 specialtilfælde 7
xSpecialtilfælde A: polonominer uden konstantled, dvs. der er x på alle led 7
Specialtilfælde B: Polynomier, hvor der er netop 2 led med x og den ene eksponent er dobbelt så stor som den anden potens. 8
Eksempel 1 8
Løs ligningen x4-5x2+4=0 8
x4-5x2+4=0 9
Her er netop 2 led med x, nemlig x4 og -5x2. 9
Potensen på det første led er 4, det dobbelte af potensen på det andet led, som er 2. 9
Derfor kan x2 med fordel erstattes af en anden variabel z=x2. 9
variablen z sættes altid lig med den variabel, der har den mindste potens. 9
Variablen x4=x•x•x•x=x•x•x•x=x2•x2=z•z=z2 9
Det giver følgende omskrivning af 4. gradsligningen: 9
x4-5x2+4=0 9
z4-5z+4=0 9
Dette er en 2. gradsligning i variablen z, denne ligning kan løses ved brug af nulpunktsformlen. 9
z=-b±b2-4ac2a 9
Koefficienterne er a=1,b=-5 og c=4 sættes ind i formlen. 9
z=-(-5)±(-5)2-4•1•42•1⇔ 9
z= 5±25-162⇔ 9
z= 5±92⇔ 9
z= 5±32⇔ 9
z= 5±32=82=4 9
z= 5-32=22=1 9
2.3 Fortegnsundersøgelse 10
2.3 Uligheder 11
2.4 Andre funktionstyper + 2.5 Invertible funktioner og ligningsløsning 12
Eksempler 12
Eksponentielle funktioner, fx=ex 14
Eksempel 1, løs ligning 14
Eksempel 2, Bestem definitionsmængde, nulpunkter og fortegnsvariation for funktionen 15
Naturlige logaritmefunktion, fx=ln(x). 17
Eksempel 1, løs ligning 18
Eksempel 2, Bestem definitionsmængde, nulpunkter og fortegnsvariation for funktionen 19
Kvadratrodsfunktioner, fx=x 20
Eksempel 1, løs ligning 20
Eksempel 2, fx=x-2•x+5 22
Potensfunktioner, fx=b•xa 23
Forskel på lineær, eksponentiel og potens modeller 24
Forskrift for potensfunktion bestemt ud fra to punkter. 26

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
Funktionsbegrebet
En funktion beskriver en sammenhæng mellem en uafhængig variabel, x og en afhængig variabel, y.

y=f(x) er en funktion, hvis de enkelte x-værdier højst har 1 y-værdi.
Er grafen sammenhængende siges funktionen at være kontinuert.

---

1 Definitionsmængde
Dm(f)=R (minus uendelig til uendelig)

2 Nulpunkter
f(x)=0⟹x=-4,5∨x=-1∨x=1∨x=2,5

3 Fortegnsvariation

Fortegnsvariationen kan også skrives på følgende måde:
f(x) er negativ for x∈]-∞;-4,5[ ∪ ]-1;1[ ∪ ]2,5;∞[
f(x) er positiv for x∈]-4,5;-1[ ∪ ]1;2,5[.

4 Monotoniforhold
f(x) er voksende for x∈]-∞;-3,3]∪[0;2],
f(x) er aftagende for x∈[-3,3;0]∪[2;∞[.

5 Ekstrema
f(x) har globalt maksimum i punktet (x;y)=(-3,3;2),
f(x) har lokalt minimum i punktet (x;y)=(0;-0,3),
f(x) har lokalt maksimum i punktet (x;y)=(2;0,3).

6 Vendetangent
f(x) har vendetangent i punkterne (x;y)=(-2 ;1) og (x;y)=(1;0)

7 Værdimængde
Vm(f)=]-∞ ;2]

---

2.2 Definitionsmængde for polynomier
Forskriften for et polynomium er
f(x)=a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+⋯+a_2 x^2+a_1 x+a_0 ,
hvor n er et positivt heltal og a_n,…a_2,a_1 og a_0 er vilkårlige tal.

Et polynomium består af en række led hvor variablen opløftes i en potens, f.eks. n, dvs. x^n hvilket betyder, at variablen skal ganges med sig selv n gange.

Da alle tal kan ganges med sig selv n gange består definitionsmængden af alle reelle tal medmindre andet er oplyst i opgaven. Dvs. Dm(f)=R eller Dm(f)=]-∞;∞[.

2.2 Nulpunkter for polynomier - 2 specialtilfælde
For polynomier af højere grad er der to specialtilfælde, som gennemgås.
Alle andre tilfælde bestemmes ved brug af CAS-værktøj

Specialtilfælde
Tilfælde A: Polynomier uden konstantled, dvs. der er x på alle led.

Tilfælde B: Polynomier, hvor der er netop 2 led med x og den ene eksponent er dobbelt så stor som den anden eksponent.
Led adskilles af plus og minus. Faktorer adskilles af gange.

Specialtilfælde A: polonominer uden konstantled, dvs. der er x på alle led
Eksempel 1
Løs ligningen x^3-4^2+4x=0

Grundmængde
Her angives de tal som ligningen kan læsses for. Dvs. de tal. Som variablen x skal findes iblandt.

En grundmængde svarer til definitionsmængden for en funktion, f.eks. f(x)=x^3-4x^2+4x. Her er definitionsmængden Dm(f)=R, da alle reelle tal kan bruges for et polynomium.

I tilfældet med ligninger, som her x^3-4x^2+4x=0 kalder vi det for grundmængden.
G står for grundmængden og R=]-∞;∞[.
I denne opgave er grundmængden G=R.