Indholdsfortegnelse
2.1 Funktionsbegrebet og forskellige funktionstyper 1
Funktionsbegrebet 1
Eksempler 1
Polynomier, grad, graf og ledende koefficient 2
Antal nulpunkter for polynomier 4
Funktionsundersøgelse, Eksempel 1, ubegrænset definitionsmængde 5
1 Definitionsmængde 5
3 Fortegnsvariation 5
4 Monotoniforhold 5
5 Ekstrema 5
6 Vendetangent 5
7 Værdimængde 5
Funktionsundersøgelse, Eksempel 2, begrænset definitionsmængde 6
1 Definitionsmængde 6
2 Nulpunkter 6
3 Fortegnsvariation 6
4 Monotoniforhold 6
5 Ekstrema 6
6 Vendetangent 6
7 Værdimængde 6
2.2 Definitionsmængde for polynomier 7
2.2 Nulpunkter for polynomier - 2 specialtilfælde 7
xSpecialtilfælde A: polonominer uden konstantled, dvs. der er x på alle led 7
Specialtilfælde B: Polynomier, hvor der er netop 2 led med x og den ene eksponent er dobbelt så stor som den anden potens. 8
Eksempel 1 8
Løs ligningen x4-5x2+4=0 8
x4-5x2+4=0 9
Her er netop 2 led med x, nemlig x4 og -5x2. 9
Potensen på det første led er 4, det dobbelte af potensen på det andet led, som er 2. 9
Derfor kan x2 med fordel erstattes af en anden variabel z=x2. 9
variablen z sættes altid lig med den variabel, der har den mindste potens. 9
Variablen x4=x•x•x•x=x•x•x•x=x2•x2=z•z=z2 9
Det giver følgende omskrivning af 4. gradsligningen: 9
x4-5x2+4=0 9
z4-5z+4=0 9
Dette er en 2. gradsligning i variablen z, denne ligning kan løses ved brug af nulpunktsformlen. 9
z=-b±b2-4ac2a 9
Koefficienterne er a=1,b=-5 og c=4 sættes ind i formlen. 9
z=-(-5)±(-5)2-4•1•42•1⇔ 9
z= 5±25-162⇔ 9
z= 5±92⇔ 9
z= 5±32⇔ 9
z= 5±32=82=4 9
z= 5-32=22=1 9
2.3 Fortegnsundersøgelse 10
2.3 Uligheder 11
2.4 Andre funktionstyper + 2.5 Invertible funktioner og ligningsløsning 12
Eksempler 12
Eksponentielle funktioner, fx=ex 14
Eksempel 1, løs ligning 14
Eksempel 2, Bestem definitionsmængde, nulpunkter og fortegnsvariation for funktionen 15
Naturlige logaritmefunktion, fx=ln(x). 17
Eksempel 1, løs ligning 18
Eksempel 2, Bestem definitionsmængde, nulpunkter og fortegnsvariation for funktionen 19
Kvadratrodsfunktioner, fx=x 20
Eksempel 1, løs ligning 20
Eksempel 2, fx=x-2•x+5 22
Potensfunktioner, fx=b•xa 23
Forskel på lineær, eksponentiel og potens modeller 24
Forskrift for potensfunktion bestemt ud fra to punkter. 26

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
2) gradspolynomium
f(x)=ax^2+bx+c

a,b og c kaldes koefficienter og antager en talværdi. a er den ledende koefficient.

Hvis a er positiv så er parablen konveks, dvs. grenene vender opad.
Hvis a er negativ så er parablen konkav, dvs. grenene vender nedad.

3) gradspolynomium
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Forskriften skrives også på formen:
f(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0

a_3,a_2,a_1 og a_0 kaldes koefficienter og antager en talværdi. a_3 er den ledende koefficient.

Hvis a_3 er positiv vil f(x) være voksende i det første og sidste interval
Hvis a_3 er negativ vil f(x) være aftagende i det første og sidste interval.

4) gradspolynomium
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Forskriften skrives også på formen:
f(x)=a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0

a_4,a_3,a_2,a_1 og a_0 kaldes koefficienter og antager en talværdi. a_4 er den ledende koefficient.

Hvis a_4 er positiv så er f(x) aftagende i det første interval og voksende i det sidste interval.
Hvis a_4 er negativ så er f(x) voksende i det første interval og aftagende i det sidste interval.

---

2.2 Definitionsmængde for polynomier
Forskriften for et polynomium er
f(x)=a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+⋯+a_2 x^2+a_1 x+a_0 ,
hvor n er et positivt heltal og a_n,…a_2,a_1 og a_0 er vilkårlige tal.

Et polynomium består af en række led hvor variablen opløftes i en potens, f.eks. n, dvs. x^n hvilket betyder, at variablen skal ganges med sig selv n gange.

Da alle tal kan ganges med sig selv n gange består definitionsmængden af alle reelle tal medmindre andet er oplyst i opgaven. Dvs. Dm(f)=R eller Dm(f)=]-∞;∞[.

2.2 Nulpunkter for polynomier - 2 specialtilfælde

For polynomier af højere grad er der to specialtilfælde, som gennemgås.
Alle andre tilfælde bestemmes ved brug af CAS-værktøj

Specialtilfælde
Tilfælde A: Polynomier uden konstantled, dvs. der er x på alle led.

Tilfælde B: Polynomier, hvor der er netop 2 led med x og den ene eksponent er dobbelt så stor som den anden eksponent.
Led adskilles af plus og minus. Faktorer adskilles af gange.

Specialtilfælde A: polonominer uden konstantled, dvs. der er x på alle led
Eksempel 1
Løs ligningen x^3-4^2+4x=0

Grundmængde
Her angives de tal som ligningen kan læsses for. Dvs. de tal. Som variablen x skal findes iblandt.

En grundmængde svarer til definitionsmængden for en funktion, f.eks. f(x)=x^3-4x^2+4x. Her er definitionsmængden Dm(f)=R, da alle reelle tal kan bruges for et polynomium.

I tilfældet med ligninger, som her x^3-4x^2+4x=0 kalder vi det for grundmængden.

G står for grundmængden og R=]-∞;∞[.
I denne opgave er grundmængden G=R.