Indledning
Denne vejledende besvarelse præsenterer løsninger til STX Matematik A NET eksamen den 13. august 2015, som blev gennemført med tilladelse til at anvende alle hjælpemidler, herunder computerværktøjer.
Denne eksamen tillod brug af netadgang og avancerede CAS (Computer Algebra System) værktøjer, som spiller en central rolle i analysen og løsningen af matematiske problemer.
Formålet med denne vejledning er at give et klart overblik over, hvordan de forskellige CAS-værktøjer, WordMat og Maple, kan anvendes til at håndtere komplekse matematiske opgaver og at demonstrere de forskellige tilgange, der kan anvendes til at løse de stillede problemer.
Indholdsfortegnelse
1. Introduktion
○ Formål og Omfang
○ CAS-værktøjer anvendt: WordMat og Maple
2. Opgave 10
○ a) Bestemmelse af konstanter og fordoblingstid
○ b) Forudsigelse af BNP pr. indbygger for Sydkorea og USA
3. Opgave 11
○ a) Bestemmelse af Taylorpolynomiet T af grad 2 og grafisk fremstilling
4. Opgave 12
○ a) Bestemmelse af længde og areal i trekant ABC
○ b) Bestemmelse af længde i trekant
5. Opgave 13
○ a) Radius og centrum af kugle K
○ b) Tangentplan og røringspunkt
6. Opgave 14
○ a) Rækketotaler, kolonnetotaler og frihedsgrader
○ b) Udfyldning af krydstabel og test af nulhypotese
7. Opgave 15
○ a) Temperaturmodel for gryden
○ b) Temperaturfald fra 60°C til 20°C
8. Opgave 16
○ a) Samlet vægt over 6 uger og punktplot
○ b) Bestemmelse af p-ligevægt og tidsforudsigelse
9. Uddrag fra Opgave 13.b
○ Beregning af afstand fra kuglecentrum til tangentplan
○ Parameterfremstilling for linje og bestemmelse af røringspunkt
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
a) Radius og centrum af kugle K
For at bestemme radius og centrum af kugle KKK, skal vi have kuglens ligning i rummet.
En generel form af kuglens ligning er: (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2 hvor (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0,y0,z0) er koordinaterne for kuglens centrum, og RRR er kuglens radius.
Hvis vi får oplysninger om kuglens ligning, kan vi identificere radius og centrum direkte.
Antag, at kuglens ligning er givet som: (x−7)2+(y+4)2+(z−13)2=169(x - 7)^2 + (y + 4)^2 + (z - 13)^2 = 169(x−7)2+(y+4)2+(z−13)2=169 Her kan vi se, at kuglens centrum er (7,−4,13)(7, -4, 13)(7,−4,13), og radius RRR er kvadratroden af 169, hvilket giver: R=169=13R = \sqrt{169} = 13R=169=13
b) Tangentplan og røringspunkt
For at finde tangentplanen til kuglen KKK og røringspunktet, skal vi bestemme afstanden fra kuglens centrum til tangentplanen.
En tangentplan til kuglen vil have en afstand fra kuglens centrum, der svarer til radius af kuglen.
Antag, at tangentplanen har ligningen: ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0ax+by+cz+d=0 Afstanden fra kuglens centrum (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0,y0,z0) til planen kan beregnes med følgende formel: afstand=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\text{afstand} = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}afstand=a2+b2+c2∣ax0+by0+cz0+d∣
For at planen skal være tangent til kuglen, skal denne afstand være lig med kuglens radius. Hvis vi antager, at planen er givet som 3x−4y+12z−24=03x - 4y + 12z - 24 = 03x−4y+12z−24=0, og kuglens centrum er (7,−4,13)(7, -4, 13)(7,−4,13), så kan vi beregne afstanden som: afstand=∣3⋅7−4⋅(−4)+12⋅13−24∣32+(−4)2+122=∣21+16+156−24∣9+16+144=16913=13\text{afstand} = \frac{|3 \cdot 7 - 4 \cdot (-4) + 12 \cdot 13 - 24|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} = \frac{|21 + 16 + 156 - 24|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{169}{13} = 13afstand=32+(−4)2+122∣3⋅7−4⋅(−4)+12⋅13−24∣=9+16+144∣21+16+156−24∣=13169=13 Da afstanden er lig med radius, er planen tangent til kuglen.
Røringspunktet findes som skæringspunktet mellem planen og linjen, der går gennem kuglens centrum og har en retningsvektor som normalvektoren til planen.
Parameterfremstillingen for linjen, der går gennem kuglens centrum, er: (x,y,z)=(7,−4,13)+t⋅(3,−4,12)(x, y, z) = (7, -4, 13) + t \cdot (3, -4, 12)(x,y,z)=(7,−4,13)+t⋅(3,−4,12) Indsæt linjens koordinater i planens ligning for at finde røringspunktet.
Skriv et svar