Indholdsfortegnelse
Opgave 1:
Hvad er et keglesnit?
Cirkler som keglesnit
- Geometrisk definition på en cirkel
- Ligningen for en cirkel
- Bevis
Opgave 1
Opgave 2
Opgave 3
Opgave 4 (den svære opgave)
Ellipser som keglesnit
- Geometrisk definition af en ellipse
- Ligningen for en ellipse
Opgave 2:
a) Bestem ligningen for linien l der går gennem punktet og har n som normalvektor.
b) Angiv en retningsvektor for linien.
c) Bestem afstanden fra linien til punktet
d) Bestem ligningen for linien m der er ortogonal med l og går gennem punktet 2, 2
Opgave 3:
a) Bestem cirklens radius og centrum
b) Indtegn cirklen i et koordinatsystem.
c) Undersøg om punkterne 3, 0 , 1, 3 , 1, 4 , 6, 2 og 10, 7 ligger på cirklen.
d) Cirklen indeholder to punkter der har 1. koordinaten x = 9 bestem koordinaterne til begge punkter.
e) Linien med ligningen y x 3 = 0 skærer cirklen i to punkter. Bestem koordinaterne til disse top punkter.
Opgave 4:
a) Indtegn parablen i et koordinatsystem.
b) Bestem toppunktet for parablen.
c) Omskriv ligningen for parablen så den står på formen: y y0 = a x x0 2
d) Bestem koordinaterne til brændpunktet
e) Bestem ligningen for ledelinien.
Opgave 5:
a) Bestem centrum og halvakser for ellipsen.
b) Bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem ellipsen og linien med ligningen
c) En anden ellipse har samme halvakser som ellipsen E men har centrum i punktet 3, 4 . Bestem ligningen for denne ellipse.
Opgave 7:
a) Indtegn løsningen til f x, y = 8 i et koordinatsystem og overvej hvad man kalder løsningen.
Opgave 8:
a) Indtegn løsningen til f x, y = 70 i et koordinatsystem og overvej hvad man kan kalde løsningen.
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Opgave 1:
Lav en teoridel der indeholder de vigtigste sætninger, regler og beviser der er gennemgået i forbindelse med emnet.
Hvad er et keglesnit?
En kegle ser sådan ud:
De kurver der kommer ud af at snitte en kegle kaldes for kurver af anden art eller keglesnit.
a) Hvis snittet går gennem toppunktet er keglesnittet enten et punkt eller linier.
b) Hvis snittet er parallelt med grundfladen/vinkelret på omdrejningsaksen så er keglesnittet en cirkel.
c) Hvis snittet er parallelt med en af frembringerne så er keglesnittet en parabel.
d) Hvis snittet skærer alle frembringere på det ene net og ikke er parallelt med grundfladen/vinkelret på omdrejningsaksen, så er keglesnittet en ellipse.
Cirkler som keglesnit
Geometrisk definition på en cirkel
Mængden af punkter med samme afstand r (radius) til punktet C (centrum) kaldes en cirkel.
Ligningen for en cirkel
Lad C x0, y0 betegne cirklens centrum og r betegne cirklens radius.
Da er cirklens ligning givet ved
x x0 2 y y0 2 = r2
---
En cirkel er givet ved ligningen
x2 y2 6 x 8 y 16 = 0 (den grønne cirkel på grafen)
a) Bestem ligningen for de to cirkler, der har centrum i punktet C 1, 4 , og som tangerer ovenstående cirkel. (det er den blå og den røde graf.
C = (3,4)
R = 3
Difference på centrum 3 1 = 4
Den blå har radius 4-3 = 1 og den røde har 4+3 = 7 i radius.
Ellipser som keglesnit
Geometrisk definition af en ellipse
Lad F være et punkt og l en linie, som ikke indeholder F . Lad derudover e være et tal mellem 0 og 1. En ellipse udgøres af de punkter P, der tilfredsstiller at afstanden fra punktet P til henholdsvis F og l danner forholdet e, e = PF
Pl
F kaldes for ellipsens brændpunkt og en ellipse har to brændpunkter. l kaldes for ledelinien og der findes også 2 af dem. e kaldes for ellipsens excentricitet.
Ligningen for en ellipse
Ellipsen med centrum i x0, y0 og halvakserne a og b har ligningen:
a2 b2 = 1
a er den vandrette halvakse (dvs. den vandrette afstand fra centrum og ud til kanten ellipsen) og b er den lodrette halvakse.
Eksempel
Følgende ligning er ligningen for en ellipse 8 y 4 y2 23 9 x2 18 x = 0
Halvakser og centrum bestemmes. 8 y 4 y2 23 9 x2 18 x = 0
Skriv et svar