Indholdsfortegnelse
1. Opgave 7
a) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b, når t=2.
b) Bestem t, så det(a,b)=30.
2. Opgave 8
a) Bestem konstanterne a og b ved hjælp af potensregression.
b) Bestem belastningsevnen for et stålprofil med højde på 668 mm.
c) Bestem den relative tilvækst i belastningsevne, når højden øges med 15%.
3. Opgave 9
a) Skitsér grafen for funktionen f, og bestem skæringspunktet med førsteaksen.
b) Bestem arealet under grafen for funktionen.
4. Opgave 10
a) Opstil en nulhypotese og tabel over forventede værdier for χ²-testen.
b) Test nulhypotesen ved 5% signifikansniveau.
5. Opgave 11
a) Bestem længden af |AB| og vinklen v, når x=4.
b) Beregn det samlede areal af trekanterne ABC og ABD, når x=4.
c) Bestem den værdi af x, der maksimerer sandkassens areal.
6. Opgave 12
a) Bestem en ligning for planen α, der indeholder tagfladen ABCD.
b) Beregn vinklen mellem tagfladerne ABCD og CDEF.
c) Vis, at firkanten ABCD er et parallelogram, og bestem arealet af tagfladen.
7. Opgave 13
a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for funktionen f i punktet P(3,f(3)).
b) Bestem største- og mindsteværdi samt perioden for funktionen.
8. Opgave 14
a) Bestem temperaturen y som funktion af tiden t, og find temperaturen efter 16 minutter.
b) Bestem den faktiske værdi af konstanten a ved brug af modellen.
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Opgave 7a: Bestem vinklen mellem vektorerne a\mathbf{a}a og b\mathbf{b}b, når t=2t = 2t=2.
For at finde vinklen mellem to vektorer anvendes skalarproduktet, også kendt som prikproduktet. Skalarproduktet af to vektorer a\mathbf{a}a og b\mathbf{b}b defineres som:
$$a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(θ)\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(θ)
hvor ∣a∣|\mathbf{a}|∣a∣ og ∣b∣|\mathbf{b}|∣b∣:$$ er længderne af vektorerne, og θ\thetaθ er vinklen mellem dem. Hvis vi ønsker at finde vinklen θ\thetaθ, kan vi omskrive formlen
$$cos(θ)=a⋅b∣a∣⋅∣b∣\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}cos(θ)=∣a∣⋅∣b∣a⋅b θ=cos−1(a⋅b∣a∣⋅∣b∣)\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}\right)θ=cos−1(∣a∣⋅∣b∣a⋅b)$$
Lad os antage, at vektorerne a\mathbf{a}a og b\mathbf{b}b er givet som:
$$a=(2t)ogb=(34)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ t \end{pmatrix} \quad \text{og} \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}a=(2t)ogb=(34):$$
$$Når t=2t = 2t=2, får vi vektoren a=(22)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}a=(22).$$
Beregning af skalarproduktet a⋅b\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}a⋅b:
Skalarproduktet af a\mathbf{a}a og b\mathbf{b}b kan beregnes som:
$$a⋅b=(2⋅3)+(2⋅4)=6+8=14\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2 \cdot 3) + (2 \cdot 4) = 6 + 8 = 14a⋅b=(2⋅3)+(2⋅4)=6+8=14$$
Beregning af længderne af a\mathbf{a}a og b\mathbf{b}b:
Længden af vektoren a\mathbf{a}a er givet ved:
$$∣a∣=22+22=4+4=8=22|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}∣a∣=22+22=4+4=8=22$$
Længden af vektoren b\mathbf{b}b er:
$$∣b∣=32+42=9+16=25=5|\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5∣b∣=32+42=9+16=25=5$$
Beregning af vinklen θ\thetaθ:
Vi kan nu indsætte skalarproduktet og længderne af vektorerne i formlen for cos(θ)\cos(\theta)cos(θ):
$$cos(θ)=1422⋅5=14102=752≈0,4949\cos(\theta) = \frac{14}{2\sqrt{2} \cdot 5} = \frac{14}{10\sqrt{2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} \approx 0,4949cos(θ)=22⋅514=10214=527≈0,4949$$
For at finde vinklen θ\thetaθ, tager vi den inverse cosinus:
$$θ=cos−1(0,4949)≈60∘\theta = \cos^{-1}(0,4949) \approx 60^\circθ=cos−1(0,4949)≈60∘$$
Så vinklen mellem vektorerne a\mathbf{a}a og b\mathbf{b}b, når t=2t = 2t=2, er cirka 60∘60^\circ60∘.
Opgave 7b: Bestem ttt, så a⋅b=30\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 30a⋅b=30.
I denne opgave skal vi finde værdien af ttt, som gør, at skalarproduktet af a\mathbf{a}a og b\mathbf{b}b er 30. Vi ved, at skalarproduktet mellem a=(2t)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ t \end{pmatrix}a=(2t) og b=(34)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}b=(34) kan skrives som:
$$a⋅b=2⋅3+t⋅4=6+4t\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 3 + t \cdot 4 = 6 + 4ta⋅b=2⋅3+t⋅4=6+4t$$
Vi ønsker, at dette skalarprodukt skal være lig med 30:
$$6+4t=306 + 4t = 306+4t=30$$
Løsning af ligningen:
Vi isolerer ttt ved at trække 6 fra begge sider:
$$4t=30−6=244t = 30 - 6 = 244t=30−6=24$$
Derefter dividerer vi med 4:
$$t=244=6t = \frac{24}{4} = 6t=424=6$$
Så for at skalarproduktet mellem a\mathbf{a}a og b\mathbf{b}b skal være 30, skal t=6t = 6t=6.
Opsummering:
$$I opgave 7a fandt vi, at vinklen mellem vektorerne a=(22)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}a=(22) og b=(34)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}b=(34) er cirka 60∘60^\circ60∘. $$
Dette blev gjort ved først at beregne skalarproduktet og derefter bruge længderne af vektorerne til at finde vinklen ved hjælp af cosinus-relationen.
I opgave 7b fandt vi værdien af ttt, som gør, at skalarproduktet af a=(2t)\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ t \end{pmatrix}a=(2t) og b=(34)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}b=(34) er 30. Efter at have sat skalarproduktet lig med 30, løste vi ligningen og fandt, at t=6t = 6t=6.
Opgave 8a: Bestem konstanterne a og b ved hjælp af potensregression
Potensregression bruges til at finde en matematisk sammenhæng mellem to variable, der følger en potenslov.
I denne opgave forventes det, at sammenhængen mellem højden af stålprofilen hhh og belastningsevnen BBB kan beskrives af en potensfunktion på formen:
B(h)=a⋅hbB(h) = a \cdot h^bB(h)=a⋅hb hvor aaa og bbb er konstanter, der skal bestemmes.
Hvis vi har et datasæt bestående af flere målinger af højder hhh og tilsvarende belastningsevner BBB, kan vi bruge potensregression til at finde de bedste værdier for aaa og bbb.
Potensregression kan foretages ved at tage logaritmen på begge sider af ligningen:
$$log(B)=log(a)+b⋅log(h)\log(B) = \log(a) + b \cdot \log(h)log(B)=log(a)+b⋅log(h)$$
Skriv et svar