Indholdsfortegnelse
Sætning 1 (Kvadratet på en toleddet størrelse) 4
Sætning 2 (To tals sum gange de samme to tals differens) 5
Sætning 3 (Konstanterne a og b i den lineære funktion) 6
Sætning 4 (Nulpunkt for en lineær funktion) 10
Sætning 5 (Niveaulinjerne er rette linjer med samme hældning) 12
Sætning 6 (Koefficienten b i en andengradsfunktion) 14
Sætning 7 (Toppunktsformlen) 16
Sætning 8 (Nulpunktsformlen) 19
Sætning 9 (Konstanterne a og b i den eksponentielle funktion) 21
Sætning 10 (Omvendt lineær funktion) 25
Sætning 11 (Tilbageskrivningsformlen) 27
Sætning 12 (Rentefodsbestemmelse) 29
Sætning 13 (Terminsantal) 30
Sætning 14 (Gældsformlen) 33
Sætning 15 (Differentialkvotient) 35
Sætning 16 (Differentiation af sum/differens) 39
Sætning 17 (Differentiation af en konstant funktion) 41
Sætning 18 (Differentiation af den lineære funktion) 42
Sætning 19 (Differentiation af den simple andengradsfunktion) 43
Sætning 20 (Differentiation af kvadratrodsfunktionen) 44
Sætning 21 (Tangentens ligning) 47
Sætning 22 (Punktsandsynligheder i binomialfordelingen) 50
Sætning 23 (Terminsformel for fremtidsværdi) 52
Sætning 24 (Sammensatte lineære funktioner) 54
Sætning 25 (Formler for middeltal) 55
Sætning 26 (Nulpunkt for polynomier uden konstantled) 58
Sætning 27 (Skæringspunkt mellem to lineære funktioner) 59
Sætning 28 (Formel for forventede værdier i uafhængighedstest) 61
Sætning 29 (Fordoblings- og halveringskonstant) 63
Sætning 30 (Generel løsning til simpel eksponentiel ligning) 65
Sætning 31 (Logaritmeregneregel) 67
Sætning 32 (Bredde af konfidensinterval for andel) 68
Sætning 33 (Frihedsgrader i en uafhængighedstest) 71
Sætning 34 (Udfaldsrum og hændelser) 74
Sætning 35 (Maksimering af kriteriefunktion ud fra polygonområde) 76
Sætning 36 (Differentialkvotient til naturlig eksponentialfunktion) 77
Sætning 37 (Nulpunkter for andengradsfunktion uden b-led) 79
Sætning 38 (Nulpunkter for andengradsfunktion uden c-led) 82
Sætning 39 (Andengradspolynomier har ikke vendepunkter) 83
Sætning 40 (Vendepunkt til tredjegradspolynomium) 84

Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter

Uddrag
Sætning 1 (Kvadratet på en toleddet størrelse)
Sætningen beskrives således med ord: ”Kvadratet på en toleddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus eller minus det dobbelte produkt.”

(Et produkt vil sige, at to tal ganges med hinanden)

Der anvendes plus ved det dobbelte produkt, når de to led har samme fortegn.
Den første kvadratsætning:
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

Der anvendes minus ved det dobbelte produkt, når de to led har forskellige fortegn.
Den anden kvadratsætning:
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab

Bevis
Den første kvadratsætning bevises:
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2+2ab

Den anden kvadratsætning bevises:
(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2+b^2-2ab

Sætning 2 (To tals sum gange de samme to tals differens)
Sætningen beskrives således med ord: ”To tals sum gange de samme to tals differens er lig med kvadratet på første led minus kvadratet på andet led.”

Den tredje kvadratsætning:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Bevis
Den tredje kvadratsætning bevises:
(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2
 
Sætning 3 (Konstanterne a og b i den lineære funktion)
For en lineær funktion f(x)=ax+b, der går gennem punkterne (x_1,y_1) og (x_2,y_2) gælder, at hældningskoefficienten a kan beregnes ved
a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

og konstanten b kan beregnes ved
b=y_0-ax_0
hvor (x_0,y_0) er enten (x_1,y_1) eller (x_2,y_2).

---

Bevis
Det er klart, at toppunktet er det eneste punkt, hvor tangenthældningen er nul. Vi differentierer funktionen for at finde et udtryk, der beskriver hældningen.
f(x)=ax^2+bx+c □(⇒) f^' (x)=2ax+b

Udtrykket for hældningen sættes lig nul, idet toppunktet befinder sig netop der.
f^' (x)=0

⇕ Udtrykket for f'(x) indsættes
2ax+b=0

⇕ trækker b fra på begge sider af lighedstegnet
2ax=-b

⇕ dividerer med 2a på begge sider af lighedstegnet, hvilket er tilladt, da a≠0.
x=(-b)/2a

Vi kender nu førstekoordinaten til toppunktet.
Andenkoordinaten findes ved at sætte førstekoordinaten ind på x’s plads i forskriften.

Det, der er markeret med rødt kan udelades til eksamen. Forklar i stedet ”der laves udregninger” og skriv
f(-b/2a)=⋯=-d/4a
f((-b)/2a)
=a∙((-b)/2a)^2+b∙((-b)/2a)+c
=a∙(b^2/(4a^2 ))-b^2/2a+c
=(a∙b^2)/(4a^2 )-b^2/2a+c
=b^2/4a-b^2/2a+c
=b^2/4a-(2b^2)/4a+4ac/4a
=(b^2-2b^2+4ac)/4a
=(-b^2+4ac)/4a
=(-(b^2-4ac))/4a
=(-d)/4a
Vi har nu bevist, at T=((-b)/2a ,(-d)/4a). 

Sætning 8 (Nulpunktsformlen)
For en andengradsfunktion f(x)=ax^2+bx+c gælder, at nulpunkterne svarer til at løse ligningen
ax^2+bx+c=0.

Denne ligning har løsningerne
x=(-b±√d)/2a

Det gælder, at
- når d>0 er der to løsninger
- når d=0 er der én løsning
- når d<0 er der ingen løsninger ( L=Ø )
Diskriminanten er d=b^2-4ac

Bevis
Udgangspunktet er nulpunktsformlen
x=(-b±√d)/2a

der ganges med 2a på begge sider for at ophæve brøken
2ax=-b±√d

dernæst adderes der med b på begge sider
2ax+b=±√d

kvadratroden fjernes ved at sætte udtrykket i anden potens på begge sider
(2ax+b)^2=(±√d)^2

venstre side erstattes med 4a^2 x^2+4abx+b^2, da (2ax+b)^2=4a^2 x^2+4abx+b^2 (sætning 1)
4a^2 x^2+4abx+b^2=d

diskriminanten d på højre side erstattes med dens formel: d=b^2-4ac
4a^2 x^2+4abx+b^2=b^2-4ac

der subtraheres med b^2-4ac på begge sider, hvorved alt samles på venstre side
4a^2 x^2+4abx+b^2-b^2+4ac=0

hvilket reduceres til
4a^2 x^2+4abx+4ac=0

4a går igen i alle led og udtrykket kan derfor faktoriseres
4a(ax^2+bx+c)=0

dernæst divideres der med 4a på begge sider
4a(ax^2+bx+c)/4a=0/4a

det resulterer i andengradsligningen
ax^2+bx+c=0

Dermed har vi vist, at
x=(-b±√d)/2a