Indledning
Matematik er en fundamental disciplin, der anvendes i mange aspekter af livet og samfundet.
Denne opgave omhandler den skriftlige matematikeksamen for STX A-niveau, som blev afholdt den 14. august 2013.
Formålet med opgaven er at præsentere og analysere to specifikke opgaver fra eksamen, hvor der anvendes forskellige matematiske værktøjer og metoder.
I takt med den teknologiske udvikling spiller Computer Algebra Systemer (CAS) en stadig større rolle i matematikundervisningen og -praksis.
Denne opgave vil derfor undersøge, hvordan CAS-værktøjer kan anvendes til at løse komplekse matematiske problemer.
Indholdsfortegnelse
1. Introduktion
○ 1.1 Formål med opgaven
○ 1.2 Anvendte værktøjer og metoder
○ 1.3 Pædagogiske referencer
2. Opgave 7: Eksponentiel model for udviklingen i det årlige antal reklametimer på de danske tv-kanaler
○ 2.1 a) Bestemmelse af a og b
○ 2.2 b) Tidsbestemmelse for fordobling af reklametimer
○ 2.3 c) Fortolkning af f'(6)
3. Opgave 8: Vinklen mellem to vektorer og areal af trekant
○ 3.1 a) Bestemmelse af vinklen mellem vektorerne
○ 3.2 b) Beregning af trekantens areal
4. Opgave 9: Model for den årlige affaldsproduktion i EU pr. indbygger
○ 4.1 a) Bestemmelse af affaldsproduktion i 1994
○ 4.2 b) Grafisk præsentation og fortolkning
5. Opgave 10: Rumgeometri – pyramider i en kube
○ 5.1 a) Bestemmelse af planen for fladen ABD
○ 5.2 b) Vinkelbestemmelse mellem fladerne ABD og BCD
6. Opgave 11: Chi²-test for uafhængighed
○ 6.1 a) Formulering af nulhypotese og tabel over forventede værdier
○ 6.2 b) Hypotesetest på 5% signifikansniveau
7. Opgave 12: Bærekablet for Golden Gate Bridge
○ 7.1 a) Bestemmelse af forskrift for bærekablet
○ 7.2 b) Længdeberegning af bærekablet mellem pyloner
8. Opgave 13: Model for koncentrationen af rygestopmiddel i blodet
○ 8.1 a) Aftagning af koncentrationen ved 1,5μg/L
○ 8.2 b) Bestemmelse af forskrift for c(t)
9. Opgave 14: Trekantsberegning af sejlskibssilhuet
○ 9.1 a) Bestemmelse af |AB| og vinkel A
○ 9.2 b) Beregning af |DC| og arealet af trekant CDE
10. Opgave 15: Rumfang af omdrejningslegeme (skål)
○ 10.1 a) Graftegning og bestemmelse af skålens højde
○ 10.2 b) Beregning af rumfanget af træet i skålen
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Golden Gate Bridge, et ikonisk symbol på San Francisco, er kendt for sit elegante design og massive bærende struktur, som inkluderer bærekabler, der spænder mellem de to pyloner.
Bærekablet har en karakteristisk buet form, der kan beskrives matematisk ved hjælp af parabler eller hyperbler, afhængig af den specifikke analyse.
Antag, at vi beskriver bærekablets profil med en funktion y=f(x)y = f(x)y=f(x), hvor yyy repræsenterer højden over vandet, og xxx er afstanden fra pylonens fundament.
For at bestemme forskriften for bærekablet kan vi anvende begrebet statisk ligevægt, hvor tyngden af kablet og de belastninger, som det bærer, skal være i balance.
I et forsimplet model kan vi antage, at kraften fra kablet kun afhænger af den vertikale belastning og dets egen vægt.
En typisk model til beskrivelse af et bærende kabel er:
$$y=a⋅(x−h)2+ky = a \cdot \left(x - h\right)^2 + ky=a⋅(x−h)2+k$$
hvor (h,k)(h, k)(h,k) er et punkt på kablets kurve, og aaa er en konstant, der bestemmer kurvens åbenhed.
For at finde værdierne af aaa, hhh, og kkk skal vi have nogle kendte punkter fra bærekablets profil.
For Golden Gate Bridge, som har en hovedspænding på 1280 meter mellem pylonerne og en maksimal højde på cirka 67 meter, kan vi vælge punkter til at fastlægge vores funktion.
Antag, at vi vælger pylonernes positioner som (−640,0)(-640, 0)(−640,0) og (640,0)(640, 0)(640,0), og at det højeste punkt (toppen af kablet) er (0,67)(0, 67)(0,67).
Dette giver os følgende tre ligninger, som vi kan løse for at finde konstanterne:
$$1. Fra punktet (−640,0)(-640, 0)(−640,0):$$
0=a⋅(−640−h)2+k0 = a \cdot (-640 - h)^2 + k0=a⋅(−640−h)2+k
2. Fra punktet (640,0)(640, 0)(640,0):
$$0=a⋅(640−h)2+k0 = a \cdot (640 - h)^2 + k0=a⋅(640−h)2+k$$
3. Fra punktet (0,67)(0, 67)(0,67):
$$67=a⋅(0−h)2+k67 = a \cdot (0 - h)^2 + k67=a⋅(0−h)2+k$$
Skriv et svar