Indledning
Denne opgave omhandler en vejledende besvarelse af eksamenssættet fra STX Matematik A, der blev afholdt fredag den 9. december 2011.
Eksamenssættet er delt op i to dele: en delprøve uden hjælpemidler og en delprøve med hjælpemidler.
Formålet med opgaven er at teste elevernes evne til at håndtere både algebraiske manipulationer og anvendelse af matematiske metoder til at løse mere komplekse problemer inden for geometri, funktioner, differentialligninger og rumgeometri.
Denne vejledende besvarelse har til hensigt at give en detaljeret gennemgang af opgaverne fra eksamenssættet og vise, hvordan man løser dem trin for trin.
Besvarelsen benytter sig af CAS-værktøjer som WordMat, hvor det er nødvendigt, for at optimere løsningen af problemerne.
For at eleverne kan nå igennem alle opgaver inden for den afsatte tid, er det anbefalet at benytte computer-algoritmiske systemer (CAS) i størst mulig udstrækning.
Formålet med denne gennemgang er at give elever, der forbereder sig til skriftlig eksamen på STX A-niveau, en grundig forståelse af, hvordan man kan løse matematikopgaver på eksamensniveau.
Ved at studere disse løsninger kan eleverne opnå bedre indsigt i matematiske metoder og strategier, hvilket vil hjælpe dem i eksamenssituationer.
Indholdsfortegnelse
1. Indledning
○ Kort introduktion til opgaven og eksamenssættet
2. Delprøven uden hjælpemidler
○ Opgave 1 - Reduktion af udtrykket (a−b)2+2a(a+b)−b2(a-b)^2 + 2a(a+b) - b^2(a−b)2+2a(a+b)−b2
○ Opgave 2 - Bestemmelse af et tal, så to vektorer er ortogonale
○ Opgave 3 - Bestemmelse af en kugles radius og koordinatsættet til dens centrum
○ Opgave 4 - Bestemmelse af konstanterne aaa og bbb i en eksponentialfunktion
○ Opgave 5 - Bestemmelse af koordinatsættet til en parabels skæringspunkter med førsteaksen
○ Opgave 6 - Bestemmelse af hushjørnets højde og areal
3. Delprøven med hjælpemidler
○ Opgave 7 - Bestemmelse af sidelængde og areal af en trekant
○ Opgave 8 - Potensregression og anvendelse af forskrift
○ Opgave 9 - Bestemmelse af planens ligning og afstanden mellem punkt og plan
○ Opgave 10 - Bestemmelse af tangentens ligning og funktionens monotoniforhold
○ Opgave 11 - Differentialligninger: løsning og fortolkning af C′(t)C'(t)C′(t)
○ Opgave 12 - Beregning af areal og rumfang ved hjælp af integraler
○ Opgave 13 - Bestemmelse af buens bredde og længde for "The Gateway Arch"
○ Opgave 14 - Bestemmelse af hældningskoefficienten for tangenten og opsætning af differentialligning
4. Uddrag
○ Detaljeret gennemgang af opgave 9.a: Bestemmelse af planens ligning
Optimer dit sprog - Læs vores guide og scor topkarakter
Uddrag
Delprøven med hjælpemidler
Denne del af eksamenssættet kræver anvendelse af CAS-værktøjer, hvilket betyder, at eleverne har adgang til deres computere og kan bruge matematiske software til at løse mere komplekse opgaver.
Opgaverne i denne del er mere krævende og omhandler geometri, regression, vektorregning, differentialligninger og integralregning.
Lad os nu gå igennem hver opgave trin for trin og forklare, hvordan de kan løses ved hjælp af CAS-værktøjer.
Opgave 7 - Bestemmelse af sidelængde og areal af en trekant
Denne opgave handler om at anvende geometri og trigonometriske formler til at bestemme sidelængder og arealet af en trekant.
Normalt vil oplysninger som vinkelstørrelser og mindst én sidelængde være givet, og opgaven kan kræve brug af cosinusrelationen eller sinusrelationen.
Lad os antage, at trekanten har kendte værdier for to sider og en inkluderet vinkel, hvilket giver os mulighed for at bruge cosinusrelationen:
$$c2=a2+b2−2ab⋅cos(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)c2=a2+b2−2ab⋅cos(C)$$
hvor aaa, bbb er sidelængderne og CCC er den modstående vinkel. Når vi har beregnet den tredje sidelængde, kan vi anvende arealformlen for en trekant:
$$A=12ab⋅sin(C)A = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(C)A=21ab⋅sin(C)$$
Ved at bruge CAS-værktøjer kan vi hurtigt finde både sidelængden og arealet. Ved hjælp af softwaren kan vi også visualisere trekanten og kontrollere, at vores beregninger er korrekte.
Skriv et svar