Indholdsfortegnelse
4.2 Sammensat rentesregning 1
Fremskrivning af en kapitalværdi, K_n 1
Begyndelsesværdien K_0 i fremskrivningsformlen K_n 3
Antal terminer, n i fremskrivningsformlen K_n 4
Rentefoden, dvs. renten pr. termin, r 5
Gennemsnitlig rente pr. termin 6
Effektiv rente, i 7
4.2 + 4.6 Udledning og beviser for sammensat rentesregning 9
4.2 Udledning af fremskrivningsformlen, K_n 9
4.2 Begyndelsesværdien,K_0 i fremskrivningsformlen K_n, bevis 9
4.6B Antal terminer, n i fremskrivningsformlen K_n, bevis 10
4.6A Rentefoden, dvs. renten pr. termin, r i fremskrivningsformlen K_n, bevis 10
4.3 Fremtidsværdi af en annuitet 12
Formel til bestemmelse af fremtidsværdi af annuitet,A_n, (Opsparingsformlen) 13
4.3 Fast ydelse y i opsparingsformlen A_n (fremtidsværdi af annuitet) 14
4.3 Fast rente pr. termin r i opsparingsformlen A_n (fremtidsværdi af annuitet) 15
4.3 Antal ydelser n i opsparingsformlen A_n (fremtidsværdi af annuitet) 16
Eksempel med K_n og A_n 17
4.6 C Bevis formel til bestemmelse af fremtidsværdi af annuitet, (Opsparingsformlen) 19
4.4-4.5 Nutidsværdi af en annuitet, gældsformel, A_0 21
4.4 Bestemmelse af nutidsværdien, A_0 21
4.5 Fast ydelse, y i gældsformlen A_0 (nutidsværdi af en annuitet) 22
4.5 Renten pr. termin, r i gældsformlen A_0 (nutidsværdi af en annuitet) 23
4.4 Antal ydelser, n i gældsformlen A_0 (nutidsværdi af en annuitet) 24
4.5 Amortisationsplan for annuitetslån 27
Eksempel 1 - Alle ydelser er lige store 27
Eksempel 2 - sidste ydelse er mindre end de andre ydelser 29
4.5 Restgæld, R_t i annuitetslån 30
ÅOP (Årlige Omkostninger i Procent) 32

Uddrag
4.2 Sammensat Rentesregning
Fremskrivning Af en Kapitalværdi, K_n

Eksempel 1
Per Indsætter 500 Kr., Renten Pr. Måned Er 1%.
Hvor Stort Et Beløb Kan Per Hæve Efter 4 Måneder?

Efter 1 Måned Er Beløbet Vokset Til: 500•(1+0,01)=505 Kr.
Efter 2 Måneder Er Beløbet Vokset Til: 505•1,01=(500•1,01)•1,01=500•〖1,01〗^2=510,05
Efter 3 Måneder Er Beløbet Vokset Til: 510,05•1,01=515,1505 Eller 500•〖1,01〗^3=515,1505
Efter 4 Måneder Er Beløbet Vokset Til: 515,15•1,01=520,3015 Eller 500•〖1,01〗^4=520,302

Dvs. Per Kan Hæve 520,30 Kr. Efter 4 Måneder.
Beløbet Bestemmes Ved at Beregne 1% Af 500 Kr. Som Lægges Til De 500 Kr. Derefter Beregnes 1% Af Det Nye Beløb, Dette Gentages I Alt 4 Gange.

G=(Y•(1-(1+r)^(-n)))/r

Formel Til Bestemmelse Af Kapitalværdi
K_n= K_0∙(1+r)^n

Denne Formel Bygger På en Eksponentiel Funktion, F(X)=b•a^x , Hvor a=1+r.
Hvor

K_0: Begyndelsesværdi Af Kapital Til Tidspunkt Nul, Det Svarer Til Det Beløb Man Sætter Ind I Banken.
N: Antal Terminer, Beløbet Står I Banken.

en Termin Er Det Tidsrum, Der Går Mellem Rentetilskrivningerne. F.eks. Hver Måned, Kvartal Eller År.

R: Renten Pr. Termin (Regnet I Decimaltal)
K_n: Slutværdien Af Kapital Til Tidspunkt N, Det Svarer Til Det Beløb Man Kan Hæve I Banken.

Eksempel 1
Per Indsætter 500 Kr., Renten Pr. Mdr. Er 1 %.
Hvor Stort Et Beløb Kan Per Hæve Efter 4 Måneder?

Da Der Indsættes Et Beløb Som Tilskrives Den Samme Rente I Hver Termin Bruges Fremskrivningsformlen Af en Kapitalværdi K_n=k_0•(1+r)^n,

Hvor
K_0=500
R=1%= 0,01
N=4

Disse Værdier Sættes Ind I Formlen
K_4=500∙(1+0,01)^4=520,302

Dvs. Per Kan Efter 4 Måneder Hæve 520,30 Kr.

Eksempel 2
Oda Sætter 750 Kr. Ind en Enkelt Gang.
Renten Pa. (Pro Anno, Betyder Pr. År) 6%.
Renten Tilskrives Hver Måned.

Hvor Stort Et Beløb Står Der På Odas Konto Efter 18 Måneder?
Da Der Indsættes Et Beløb Som Tilskrives Den Samme Rente I Hver Termin Bruges Fremskrivningsformlen Af en Kapitalværdi K_n=k_0∙(1+r)^n,

Hvor
K_0=750
R=(6%)/12=0,5%=0,005 Der Divideres Med 12, Da Der Er 12 Måneder På Et År Og Renten Tilskrives Hver Måned.
N = 18

Disse Værdier Sættes Ind I Formlen.
K_18=750∙(1+0,005)^18=820,4467

Dvs. Der Står 820,45 Kr. På Odas Konto Efter 18 Måneder.

Supplement:
Renten Tilskrives Halvårligt
K_0=750
N=3
R=(6%)/2=0,03
K_3=750∙(1+0,03)^3≈819,5453

Dvs. Der Står 819,55 Kr. På Odas Konto Efter 18 Måneder.

Begyndelsesværdien K_0 I Fremskrivningsformlen K_n
Eksempel

Hvor Stort Et Beløb Har Lars Sat I Banken Når Han Efter 5 År Kan Hæve 6500 Kr.?
Renten Pa. Er 2%, Renten Tilskrives Halvårligt.

Da Der Er Tale Om Et Beløb Som Tilskrives Den Samme Rente I Hver Termin Bruges Fremskrivningsformlen Af en Kapitalværdi K_n=k_0∙(1+r)^n,

Hvor
K_n= 6500
N=2∙5=10 Antal År Ganges Med 2, Da Der Er 2 Terminer På Et År
R=□((2 %)/2)=1%=0,01 Renten Pa. Deles Med 2, Da Der Er 2 Terminer På Et År.

Disse Værdier Sættes Ind I Formlen.
K_n=k_0•(1+r)^n⟹
6500=k_0∙(1+0,01)^10⟺

Der Divideres Med (1+0,01)^10 På Begge Sider Af Lighedstegnet for at Isolere K_0.
6500/〖1,01〗^10 =(K_0•〖1,01〗^10)/〖1,01〗^10 ⟺

Der Reduceres.
6500/〖1,01〗^10 =k_0⟺

K_0=6500/〖1,01〗^10 =5884,365

Dvs. Lars Har Sat 5.884,37 Kr. Ind for 5 År Siden.

Alternativ Beregning Af K_0:
K_0=6500•(1+0,01)^(-10)≈5884,365