Emneopgave | Andengradspolynomium | Matematik

Indholdsfortegnelse
Definition af et andengradspolynomium
Koefficienternes betydning for grafens udseende
Formlerne for toppunkt og nulpunkter
Fortegnsundersøgelse
Monotoniforhold
Værdimængde
Bevis af nulpunktsformlen
Anvendelsesopgaver

Uddrag
Definition af et andengradspolynomium
Et andengradspolynomium er en funktion på formen f(x)=ax^2 + bx + c
Her hvor a≠0 (betyder at a ikke må være nul).

Den beskriver desuden sammenhængen mellem to variable: nemlig den uafhængige variabel x og funktionsværdien y = f(x)
Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel og kan f.eks. se sådan her ud:

Konveks parabel
Her er forskriften f(x) = 2x2 + 5x + 8

Ovenstående parabel kaldes en "glad" parabel fordi den ser glad ud. Synes man det er lidt fjollet kan man kalde den en "konveks" parabel. Vender benene i stedet nedad, kaldes parablen "sur" eller "konkav":

Konkav parabel
Her er forskriften g(x) = -2x2 + 5x + 8

Allerede efter disse eksempler, kan vi altså også konkludere, at fortegnet på det første led i funktion, er afgørende for om parablen er konveks(glad) eller konkav(sur).

Koefficienternes betydning for grafens udseende
Et andengradspolynomium har de forskellige koefficienter a, b og c

Ved ovenstående 2 eksempler har vi konkluderet følgende:
a > 0 Peger parablens grene altså opad (Parablen er konveks)
a < 0 Peger parablens grene altså nedad (Parablen er konkav)
a = 0 Er funktion en Lineær funktion og hermed altså ikke et andengradspolynomium

Konstanten b afgør om toppunktet på parablen ligger til højre eller venstre for funktionens y-akse. Dette kan bestemmes ved
funktionsforskriften på følgende måde:

Hvis a og b har samme fortegn vil toppunktet ligge til venstre for y-aksen.
Hvis a og b har forskellige fortegn vil toppunktet ligge til højre for y-aksen.
Hvis b = 0 vil toppunktet ligge på y-aksen.

Funktionsforskriften for denne parabel er:
f(x) = -2x2 – 5x + 8
Her har konstanterne a og b samme fortegn, og toppunktet ligger til venstre for y-aksen.

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned Få adgang nu