Eksponentielle funktioner og logaritmefunktioner | 10 i karakter

Indholdsfortegnelse
Del 1 (teoretiske del)
- Karakterisering af eksponentiel udvikling
- Forskriften for eksponentielle funktioner
- Det grafiske billlede af eksponentielle funktioner og sammenhængen med forskriften
- Sammenhængen mellem eksponentielle funktioner og logaritmefunktioner
- Løsning af eksponentielle ligninger
- Halverings- og fordoblingskonstanten for eksponentielle funktioner.
- Eksponentiel regression

Del 2 (uddybende del)
- Gyldigheden af formlerne for beregning af parametrene a og b i forskriften for eksponentiel funktion, hvis man kender to punkter for funktionen
- Bevis på fordoblings- og halveringskonstanten

Del 3 (anvendelse del)
Opgave 1
I en virksomhed har omsætningen udviklet sig som følgende:
a) Definer betydning af x og y i forhold til talmaterialet.
b) Lav et xy-plot af talmaterialet i tabellen og tegn en tendenslinie. Angiv forskriften for den eksponentielle model og giv en vurdering af regressionsmodellen ud fra forklaringsgraden.
c) Hvis vi siger den fundne model også beskriver udviklingen i omsætningen de følgende 10 år, hvornår vil omsætningen så være mindst 100 mio. kr.?
d) Virksomheden investerer i nye maskiner for 6,2 mio. kr. Maskinernes værdi nedskrives efter saldometoden med 20 procent om året. Hvor mange år (helt antal år) går der før maskinernes værdi er nedskrevet til under 1 mio. kr.?

Uddrag
En eksponentiel funktion karakteres ved en konstant procentvis stigning eller aftagning. En eksponentiel funktion kan derfor have en hurtig hastighedsændring da mængden der lægges til/tages fra hurtigt stiger/falder idet procentens mængde bliver større/mindre.

En eksponentiel skærer y-aksen, men rammer aldrig x-aksen. Man ved om en eksponentiel funktion er voksende når a>1, derfor ved man også at den er aftagende hvis a<1.

---

Det grafiske billede forklares ud fra et eksempel: F(x) = 10 * 1,25x
I en tabel udregnes en række støttepunkter, punkterne er led og til sammen skaber de vores eksponentielle funktion. Punkterne indtegnes i GeoGebra, hvor de danner den eksponentielle funktion.

På det grafiske billede ses det at kurven krummer opad, fordi fremskrivningsfaktoren er over 1. Udover det har vi begyndelsesværdien b, som er markeret ved den røde prik. Udregningen er vist i tabellen.

---

Mange eksponentielle udviklinger er kun tilnærmelsesvis eksponentielle. I stedet for at punkterne der er opgivet præcist, ligger på grafen, ligger de i stedet lige omkring grafen.

Ved brug af eksponentielle regressionsmodeller ignorerer man den faktiske udvikling og laver i stedet en model som laver en præcis graf.

Man bruger metoden eksponentiel regression for at se om de observerede punkter faktisk følger en eksponentiel udvikling. I Maple har jeg lavet et eksempel på en eksponentiel regressionsmodel.

Dette eksempel omhandler stigningen af turister i en by, antallet af turister over en årrække indsættes i en matrix, hvorefter Maplel laver en eksponentiel regression ud fra tallene:

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned
  • Adgang nu og her
  • 20 Downloads
  • Ingen binding
  • Let at opsige
  • Adgang til rabatter
  • Læs fordelene her
Få adgang nu