Differentialregning | Opgave

Indholdsfortegnelse
Teoretisk del side 3-6

1.1 praktisk opgave side 6

1.2 praktisk opgave side 7

1.3 praktisk opgave side 8

1.4 praktisk opgave side 9

1.5 praktisk opgave side 10

Uddrag
Gør med egne ord rede for begreberne differentialkvotient, sekant og tangent.
Man kan kalde en differentialkvotient for hældningen for tangenten, som er i et bestemt punkt.

Man kan derfor også tolke den som kurvehældningen i et givet punkt, hvor man samtidigt kan kalde den afledte funktion for hældningen for funktionen af x.

Ved at vi først har fundet f mærke af x i en funktion, kan det give os mulighed for at komme frem til differentialkvotienterne blot ved at aflæse ved hjælp af grafisk aflæsning.

Her skal man kun tegne tangenterne ind for grafen i røringspunkterne, og så kan man herefter aflæse hældningerne for tangenterne.

Dette kan man bl.a. se ved overstående eksempel, hvor der er tegnet tangenter, og man derfor kan aflæse hældningerne for tangenterne, så man derfor også kan finde f mærke for x.

I dette eksempel kan man se, at hældningen for den blå tangent er -2, hvilket vil sige, at f^' (1)=-2. Her gælder det samme for de andre to tangenter, hvor man her kan aflæse den grønne tangent til at have en hældning på 0, hvilket vil sige, at f'(2)=0. Til sidst kan man se, at den gule tangent har en hældning på 2, hvilket vil sige, at f'(3)=2.

Der findes dog også en måde at komme frem til hældningen for sekanten, hvor man her bruger beregningsmetoden.

Hvis du først allerede har tegnet en tangent og en sekant, så kan du her finde to punkter på sekantens linje, hvor du her kan bruge formlen: a=(y^2-y^1)/(x^2-x^1 ).

Her vil man nu have to punkter, hvor den ene udgøre (x^1,y^1 ), som også vil være (x,f(x)) og det andet punkt vil udgøre (x^2,y^2), som vil være (x+Δx,f(x+Δx))

Ved at tilføje disse punkter til formlen for a, vil se således ud: a=(y^2-y^1)/(x^2-x^1 )=(f(x+Δx)-f(x))/((x+Δx)-x)=lim (f(x+Δx)-f(x))/Δx . Man kan derfor benytte denne brøk til at bestemme sekantens hældning for grafen f.

Skulle man forklare, hvad en skekant består af, vil man kunne sige, at det er en ret linje, som skærer grafen gennem to punkter. Man kan bl.a. se ved overstående eksempel, at den sorte linje, som går gennem grafen her skal defineres som sekanten.

Og som nævnt tidligere, så kan man ved hjælp af brøken komme frem til hældningen på denne sekant. Kigger man derimod på tangenten, så er det en linje, som skærer grafen kun i et punkt, og den kan derfor også defineres ud fra sekanten.

Kigger man på overstående billede, så vil det være den blå linje, som her skal defineres som tangenten.

Ved at definere den ud fra sekanten, kan man lade sekantens hældning gå så tæt på tangentens hældning som muligt, hvilket vil svare til, at hældningen til tangenten er lig med den grænseværdi for hældningen til sekanten, som er gående mod hældningen for tangenten.

Der kan man altså sige, at sekanten er en form for redskab for at finde hældningen til tangenten.

Sådan får du adgang til hele dokumentet

Byt til nyt Upload en af dine opgaver og få adgang til denne opgave
  • Opgaven kvalitetstjekkes
  • Vent op til 1 time
  • 1 Download
  • Minimum 10 eller 12-tal
Premium 39 DKK pr måned Få adgang nu