Differentialregning | Matematik

Indholdsfortegnelse
Opgave 1 2
- Definition 1: 2
- Definition 2: 2
Opgave 2 4
Opgave 3 7
Opgave 4 8
Opgave 5 9
Opgave 6 11
Opgave 7 13
Opgave 8 16
Opgave 9 17
- Opgave 4.12 17
- Opgave 4.14 19

Uddrag
Opgave 1
Forklar, hvordan man definerer differentialkvotienten.

Differentialregning anvendes til bestemmelse af, hvor hurtigt en funktion vokser eller aftager i et punkt.

Ved en funktion f(x) betegnes differentialkvotienten som f´(x). Differentialkvotienten angiver tangenthældningen i et givent punkt (x,f(x)) på grafen for funktionen f.

Definition 1:
En tangent er en ret linje, som berører grafen for funktionen f(x) i et røringspunkt (x,f(x)).

Tangentens hældning er dermed hældningen i et punkt på kurven. Ved differentiering bestemmes den afledte funktion f´ for funktionen f.

Differentielkoefficienten er altså kurvehældningen i et punkt, hvor den afledte funktion angiver kurvehældningen som en funktion af x. Dermed vil den afledte funktion blive defineret som f´(x)=tagenthældning i røringspunktet (x,(f(x))

Nedenfor er tegnet grafen for en funktion og tangenten i punktet A (1, 2).

---

Punkterne indsættes i formlen og dermed er sekantens hældning
a=(y2-y1)/(x2-x1)=(f(x+∆x)-f(x))/((x+∆x)-x)=(f(x+∆x)-f(x))/∆x

Ved overstående illustration kan det konstateres at tangentens hældning og sekantens hældning ikke er homonyme.

Dermed kan det konkluderes at når delta x går mod nul og forskellen mellem de to punkter er minimal, så ligner tangenthældningen sekanthældningen omtrentlig.

Matematisk udtrykkes dette ∆x→0. Beregning ovenfor af sekanthældningen kan også anvendes ved tangenthældning, hvor f´(x) får grænseværdi for hældningen, når det er at delta x går mod nul, altså:
f´(x)=lim¦(∆x→0) (f(x+∆x)-f(x))/∆x

Ved funktionen f defineres differentialkvotienten i punktet (x,f(x)) til
f´(x)=lim¦(∆x→0) (f(x+∆x)-f(x))/∆x