Indledning
Differentiel regning er en metode til at bestemme hældningen på en tangent til en given funktion. Hertil er differentialkvotienten fundamentet og udtrykker netop hældningen på tangenten
og vi beskriver, hvordan vi bestemmer differentialkvotienter af funktioner ved at differentiere grundlæggende funktioner og mere simple regneudtryk.
Differentialregning anvendes, når man skal analysere funktioner, til at bestemme maksimum og minimum
altså globale og lokale ekstremaer for en funktion og til at afgøre, om en funktion er voksende eller aftagende - det vil sige funktionens monotoniforhold.
Derfor tager denne emneopgave i differentialregning også udgangspunkt i funktionsanalyse med fokus på ekstremaer og monotoniforhold.
Indholdsfortegnelse
INDLEDNING 2
DIFFERENTIALKVOTIENT 2
- DEFINITION af differentialkvotient 4
- REGNEREGLER 4
- BEVIS for differentiatation af en andengradsfunktion 6
- EKSEMPEL 7
TANGENTENS LIGNING OG TANGENTBESTEMMELSE 7
- DEFINITION af en lineær funktion 7
- Eksempel 8
- BEVIS for ligningen for en tangent 8
- DEFINITION af tangentens ligning 9
- ALGORITME til bestemmelse af tangentens ligning når røringspunktet er kendt 9
- Eksempel 10
- ALGORITME til bestemmelse af tangentens ligning når hældningen er kendt 11
FUNKTIONSANALYSE 11
- MONOTONIFORHOLD 12
- DEFINITION af f'(x) forhold til funktionens monotoniforhold 12
- EKSTREMAER 12
- DEFINITION af globale og lokale ekstremaer 13
- VENDETANGENT 13
- Eksempel 15
- KOMPLET FUNKTIONSANALYSE 16
- Eksempel 17
DIFFERENTIAL REGNING I ANVENDELSE 20
- EKSEMPEL 21
Optimer dit sprog - Klik her og bliv verdensmester i at skrive opgaver
Uddrag
Ved at bestemme differentialkvotienten findes tangents hældning i dette punkt. Vi ved at for at finde en ret linjes hældning skal man kende to punkter.
Derfor tegner man sekanten i punktet, hvor også tangenten skærer, som netop går gennem to kurvepunkter. Dette gøres med formlen: a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )
De to punkter er nu defineret som:
(x_1,y_1 )=(x,f(x) og (x_2,y_2 )=(x+∆x,f(x+∆x))
Indsat i formlen for a, hældningen, udtrykkes:
a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(f(x+∆x)-f(x))/((x+∆x)-x)=(f(x+∆x)-f(x)/∆x
Dette er udtrykket for sekant hældningen.
Som illustrationen også viser har tangenten og sekanten ikke samme hældning.
Ved at lave en ny sekant der ligger tættere på det første punkt - en sekant hvor x-koordinatets tilvækst er mindre, vil hældningen nærme sig tangentens hældning.
Ved at forsætte på den måde hvor tilvæksten bliver mindre og mindre, bliver sekantens hældning tilnærmelsesvist det samme som tangentens hældning, når de to punkter, som sekantens går igennem, ligger uendelig tæt på hinanden.
Herved bestemmes den afledte funktion og matematisk vil dette sige at delta x går mod 0 (∆x→0). Dermed er tangents hældning pr. definition f'(x) og sekantens hældning pr. definition (f(x+∆x)-f(x)/∆x .
---
Algoritmen bruges til at finde tangentens ligning, i punktet (x_0,f(x_(0 ))), når funktionens forskrift, samt røringspunktet er kendt.
1. Bestem røringspunktets funktionsværdi af f(x0) ved at indsætte x0 værdien i regneforskriften.
2. Bestem f’(x) ved at differentiere den givende funktion, der skal findes tangent til (f(x)). Indsæt x værdien i funktionen for f^' (x), derved findes f’(x0).
3. Indsæt til sidst værdierne i formlen til tangentligningen,
y=f´(x0)•(x-x0)+f(x0)
Skriv et svar